جمهورية العراق وزارة الرتبية املديرية العامة للمناهج الرياVضيات لل صف ال ساد س الأدبي ت أليف

Transcript

1 جمهورية العراق وزارة الرتبية املديرية العامة للمناهج الرياVضيات لل صف ال ساد س الأدبي ت أليف الدكتور مهدي صادق عباس الدكتور طارق شعبان رجب احلديثي حسام علي حيدر محمد عبد الغفور اجلواهري سعد محمد حسني البغدادي صباح علي مراد نظير حسن علي 47 ه م الطبعة السابعة

2 Ñ لG Y»ª لG ±ô ûÿg Ú ùm Òeأ G óñy áæjr Ñ لG Y»æØلG ±ô ûÿg Wc IO ùلg óñy Aªي T ºيª üàلg Wc IO ùلg óñy Aªي T

3 بسم االله الرحمن الرحيم مقدمة نظرا للتطور الكبير الحاصل في المواد الدراسية عامة والرياضيات خاصة ت عنى وزارة التربية بإعادة النظر في الكتاب المدرسي وتنقيحه او إعادة تا ليفه وفق لجان مختصة تو لف لهذا الغرض. وتلقى كتب الرياضيات نصيبها الوافي من هذه العناية. وهذا الكتاب الثالث من سلسلة كتب الرياضيات للمرحلة اإلعدادية للفرع الا دبي وقد رتبنا هذا الكتاب باربعة فصول يبدأ الفصل الا ول بموضوع طرائق العد الفصل الثاني موضوع الغايات واإلستمرارية أما الفصل الثالث فيتناول موضوع المشتقات وينتهي الكتاب بموضوع التكامل في الفصل الرابع وقد راعينا بعض التطبيقات في المشتقة والتكامل التي تنسجم مع الدراسة الا دبية. لقد تم وضع هذا الكتاب وفقا للمنهج الدراسي المقرر وحاولنا إن نستخدم الطرق التربوية الحديثة فقمنا بهذا المجهود واضعين نصب أعيننا توضيح وشرح

4 المادة العلمية بقصد االفهام وتوخينا اإلكثار من االمثلة المحلولة ومن التمارين العملية التي يصادفها الطالب في حياته العملية ومتدرجة من السهل إلى الصعب. كما نثمن جهود الخبراء العلميين الذين ساهموا بإنجاز هذا الكتاب وهم: الدكتور محمد نجم الدكتور صباح عزيز وختاما نرجو إن نكون قد وفقنا إلى خدمة أبنائنا الطلبة ونرجو من إخواننا المدرسين أن يوافونا بمالحظاتهم حول هذا الكتاب لكي نتالفى النقص فيه والكمال هلل وحده. المؤلفون

5 ال Øسπ الh ا øjó äاp áægèe BINOMIAL THEOREM [ ] COUNTING METHODS FACTORIAL2 [ ] PERMUTATIONS [ ] COMBINATIONS4 [ ] [ ] BINOMIAL THEOREM5 5

6 Counting methods 6 من المعلوم انه من االهداف الرئيسة لدراسة الرياضيات ان يتعلم الطالب العد بمهارة فائقة وعالية جدا وسوف نتعلم في هذا الفصل بعضا من طرائق العد التي تقلل من اجلهد وتختصر الوقت في ايجاد اعداد كميات كبيرة وهي: - مبدأ العد االساسي Funmdamental Counting Principle 2 -التباديل Permutations - التوافيق Combinations مثال اعلن صاحب محل لبيع الدراجات الهوائية انه يوجد لديه خمسة انواع من الدراجات ومن كل نوع توجد ثالثة احجام ومن كل حجم يوجد ست دراجات فما عدد الدراجات في المحل مخطط الشجرة Tree Diagram عدد (6) احلجم الصغير عدد (6) احلجم الوسط عدد (6) احلجم الكبير عدد (6) احلجم الصغير عدد (6) احلجم الوسط النوع االول النوع الثاني 8 عدد (6) احلجم الكبير عدد (6) احلجم الصغير المجموع = = 90 8 النوع الثالث عدد (6) احلجم الوسط عدد (6) احلجم الكبير عدد (6) احلجم الصغير عدد (6) احلجم الوسط عدد (6) احلجم الكبير عدد (6) احلجم الصغير عدد (6) احلجم الوسط عدد (6) احلجم الكبير النوع الرابع عدد الدراجات = 6 5 = 90 دراجة النوع الخامس 6 = [ ]

7 مثال 2 اعلن علي احد بائعي البدالت الرجالية ان لديه اكبر تشكيلة من البدالت حيث يوجد في محله (5) موديالت ومن كل موديل يوجد (0) قياسات مختلفة ومن كل قياس يوجد (7) الوان مختلفة فما عدد البدالت الموجودة في المحل يمكن توضيح هذا المثال بمخطط الشجرة كما في المثال االول ويكون من السهل حساب عدد البدالت كما يلي : عدد البدالت = 705 = 50 بدلة ونصادف في حياتنا كثيرا من هذه احلاالت وواضح أن الفكرة التي استخدمت في حل هذين المثالني هي واحدة. وعليه يمكن اخذ العبارة االولية االتية التي توضح الفكرة التي استخدمت في حل المثالني السابقني. (مبدأ العد االساسي) عبارة اولية لو فرض انه لدينا عدد من العمليات (االختيارات) مقداره (k) امكن القيام بالعملية االولى (n 2 والعملية n) وامكن القيام بالعملية الثانية بعدد من الطرق مقداره ) بعدد من الطرق مقداره ) (n k n)... والعملية من الرتبة (k) بعدد من الطرق مقداره ) الثالثة بعدد من الطرق مقداره ) بحيث ان اجراء اي عملية اليو ثر في اجراء اي من العمليات االخرى فإنه يوجد عدد مقداره: n)) من النتائج (الطرق) الممكنة عندما تجرى جميع العمليات n 2 n... n k )) (او االختيارات) التي عددها (k) معا. 7

8 مثال اذا كانت لدينا احلروف أ ب ج د ه ز.كم كلمة (بمعنى او بدون معنى) يمكن تكوينها بحيث تكون مكونه من اربعة حروف على أن ال يسمح بتكرار احلرف في الكلمة الواحدة عدد طرق اختيار احلرف االول = 6 عدد طرق اختيار احلرف الثاني = 5 عدد طرق اختيار احلرف الثالث = 4 عدد طرق اختيار احلرف الرابع = عدد الكلمات = = 60 كلمة مثال 4 بكم طريقة يمكن تكوين عدد رمزه مكون من اربعة مراتب يمكن تكوينه من مجموعة االرقام {,2,4,6,7,8,9} عندما (أ) التكرار مسموح (ب) التكرار غير مسموح (a) التكرار مسموح عدد طرق اختيارات رقم االحاد = 7 عدد طرق اختيارات رقم العشرات= 7 عدد طرق اختيارات رقم المي ات= 7 عدد طرق اختيارات رقم االلوف= 7 عدد الطرق الكلي = (b) التكرار غير مسموح عدد طرق اختيارات رقم االحاد = 7 عدد طرق اختيارات رقم العشرات = 6 عدد طرق اختيارات رقم المي ات = 5 عدد طرق اختيارات رقم االلوف = 4 عدد الطرق = = 840 عددا = 240 عددا 8

9 مثال 5 اذا كان لدى فتاة (6) قمصان مختلفة االلوان و (7) تنورات مختلفة االلوان ايضا و (4) احذية مختلفة فبكم زي مختلف مكون من قميص وتنورة وحذاء يمكن ان تظهر به الفتاة عدد طرق اختيار القميص الواحد = 6 عدد طرق اختيار التنورة الواحدة = 7 عدد طرق اختيار احلذاء الواحد = 4 عدد االزياء التي تظهر بها الفتاة = = 68 زي مثال 6 بكم طريقة يمكن تكوين عددا رمزه من () ارقام واقل من (500) يمكن تكوينه باستخدام االرقام,2,,4,5,6,7 اذا كان: (أ) يسمح بتكرار الرقم في العدد نفسه (ب) اليسمح بتكرار الرقم في العدد نفسه من الواضح ان العدد الذي رمزه مكون من ثالثة ارقام يحتوي على رقم احاد ورقم عشرات ورقم مي ات وعندما يكون العدد اقل من (500) فان رقم مي اته اصغر من (5) وعليه يكون : (a) في حالة السماح بتكرار الرقم في العدد نفسه عدد طرق اختيارات رقم المي ات = 4 (الحظ االرقام في المثال) عدد طرق اختيارات رقم العشرات = 7 عدد طرق اختيارات رقم االحاد = 7 عدد االعداد = = 96 عددا

10 (b) في حالة عدم السماح بتكرار الرقم في العدد نفسه عدد طرق اختيارات رقم المي ات = 4 عدد طرق اختيارات رقم العشرات = 6 عدد طرق اختيارات رقم االحاد = 5 عدد االعداد = = 20 عددا مثال 7 كم عددا مكون رمزه من ثالثة مراتب يمكن تكوينه باستخدام االرقام,2,,4,5,6,7 بحيث (a) يكون العدد زوجيا وتكرار الرقم في العدد غير مسموح به (b) يكون فرديا وتكرار الرقم في العدد مسموح به (a) العدد الزوجي يكون احاده عددا زوجيا والتكرار غير مسموح به وعليه يكون عدد طرق اختيار رقم االحاد = عدد طرق اختيار رقم العشرات = 6 لماذا عدد طرق اختيار رقم المي ات = 5 عدد االعداد = 6 5 = 90 عددا (b) العدد الفردي يكون احاده عددا فرديا والتكرار مسموح به وعليه يكون عدد طرق اختيار رقم االحاد = 4 عدد طرق اختيار رقم العشرات = 7 لماذا عدد طرق اختيار رقم المي ات = 7 عدد االعداد = = 96 عددا 0

11 - لدى احمد (5) سترات مختلفة (6) بنطلونات مختلفة (8) قمصان مختلفة فبكم زي مختلف يظهر به احمد مكون من سترة وبنطلون وقميص 2- اذا كان لدينا الحروف أ- ل - ع - ق - ك - ب. كم كلمة مكونة من اربعة احرف (بمعنى او بدون معنى) من هذه الحروف على انه اليسمح بتكرار الحرف في الكلمة الواحدة - بكم طريقة يمكن اختيار ثالث اشخاص من بين عشرة اشخاص لشغل ثالثة وظائف معينة مختلفة 4- كم عددا مكون رمزه من ثالثة ارقام يمكن تكوينه باستخدام االرقام,4,5,6,7,8,9 a) على ان يكون العدد فرديا والتكرار غير مسموح به للرقم في العدد نفسه. b) على ان يكون العدد زوجيا والتكرار مسموح به للرقم في العدد نفسه. 5- كم عددا يكون رمزه مكون من ثالث مراتب يمكن تكوينه باستخدام االرقام,2,,4,5,6,7 ( a على ان يكون العدد اكبر من (500) والتكرار مسموح به للرقم في العدد نفسه b) على ان يكون العدد اصغر من (400) والتكرار غير مسموح به للرقم في العدد نفسه

12 Factorial2 مثال ليكن لدينا (n) طالبا [حيث (n) عدد صحيح غير سالب] واردنا ان نجلسهم على نفس العدد من الكراسي التي على استقامة واحدة. من المعلوم اننا نستطيع ان نجلس اي واحد من الطالب وعددهم (n) على الكرسي االول وعلى الكرسي الثاني يمكن ان نجلس اي طالب من بقية الطالب وعددهم ( n- )وعلى الكرسي الثالث من الممكن ان نجلس اي طالب من بقية الطالب وعددهم (2-n)... وهكذا الى ان نصل الى الكرسي االخير الذي يمكن ان يجلس عليه الطالب الوحيد الذي بقي واقفا... وهكذا اذا اعتبرنا عملية جلوس الطالب تتكون من (n) مرحلة فعدد الخيارات في المراحل االولى والثانيةوالثالثة... االخيرة هو على التوالي:, 2,,..., n-2, n -, n وعلى ما سبق دراسته فإن عدد خيارات جلوسهم هو: n (n-)(n-2)... وفي احيان كثيرة في الرياضيات نحصل على ضرب االعداد الصحيحة ابتداءا بالعدد n وحتى ويرمز لهذا الضرب بالرمز!n أو n ويقرأ مضروب (او مفكوك)( n ) ويعرف كما يا تي: اذا كان n عدد صحيح غير سالب [n عدد طبيعي] فإن : عندما 2 n n = n! = n (n-)(n-2)...2 من التعريف =! علما ان = 0! 6! = = 720 فمثال : 0!= = ! 6! مثال اكتب بابسط صورة او 8 6 [ ] = 8 7 = 56 2

13 مثال 2 جد! =!9 يمكن القول أنه: 9!= 9 8! 9!=9 8 7! 9!= ! أو أو وهكذا وبصورة عامة يمكن القول أنه: n! = n(n-)! n!=n(n-)(n-2)! أو 9! = وهكذا n! = 6 (n-2)! = 6 n(n-)(n-2)! (n-2)! n(n-) = 6 n 2 -n - 6 = 0 (n+2)(n-) = 0 n = -2 n = يهمل لا نه سالب اجلواب : n! (n-2)! مثال اذا كان = 6 فما قيمة n مثال 4 اذا كان = 720! n فما قيمة n تكتب 720 بشكل حاصل ضرب اعداد متتالية مبتدئة من العدد وذلك بالشكل: فيكون: 720 = = 6! n! = 720 n! = 6! n = 6

14

15

16 p 6 p 6 p 6 r مثال 6 اذا كان = فما قيمة ( r ) الحل 6! = 6! = p 6 6! 6! = r (6-)! (6-r)!! (6-r)! (6-r)!=! 6-r = r = r < n مالحظة : من المثال السابق يمكن القول بصورة عامة: اذا كان = فإن r = k حيث p n k p n r مثال 7 ما عدد االعداد التي رمز كل منها مكون من ثالثة ارقام ما خوذة من بني االرقام a) دون تكرار الرقم في العدد b) يمكن تكرار الرقم في العدد (aa عدد االعداد = p = = 20 عددا b) عدد طرق اختيار رقم االحاد = 6 عدد طرق اختيار رقم العشرات = 6 عدد طرق اختيار رقم المي ات = 6 وبموجب مبدأ العد يكون عدد االعداد = عددا = 26 مثال 8 كم كلمة يمكن تكوينها مكونة من اربعة حروف مختلفة ما خوذة من االحرف أ ب ج د ه p 5 4 عدد الكلمات يكون p 5 4 5! = = (5-4)!! كلمة = 20 6

17 2 - احسب قيمة كل مما يا تي: (a 7! (b ! 2- جد قيمة n اذا كان : a) b) c) d) n! = 5040 p n 2 n = 72 p = 8 p n 5 4 (n+)! (n-)! = 0 - اذا كانت لدينا المجموعة } 7 {, 2,, 4, 5,6, = x فكم عددا يمكن تكوينه اذا كان: a) رمزه مكون من ثالثة ارقام بدون تكرار الرقم في العدد نفسه b) رمزه مكون من ثالثة ارقام ويسمح بتكرار الرقم في العدد نفسه c) رمزه مكون من ثالثة ارقام اصغر من (400) بدون تكرار الرقم في العدد نفسه d) رمزه مكون من ثالثة ارقام اكبر من (200) ويسمح بتكرار الرقم في العدد نفسه e) رمزه مكون من ثالثة ارقام ويكون زوجيا بدون تكرار الرقم في العدد نفسه f) رمزه مكون من ثالثة ارقام ويكون فرديا ويسمح بتكرار الرقم في العدد نفسه 4- ي جرى في احد الصفوف انتخابا على ثالثة مراكز في احدى لجان الصف هي الرئيس ونائب الرئيس وامين السر ما عدد النتائج التي تسفر عنها االنتخابات اذا علم ان عدد الطالب المشاركين في االنتخابات عشرة طالب 5- كم كلمة مختلفة الحروف مكونة من ثالثة حروف من بين حروف كلمة (ذي قار) 6- بكم طريقة يمكن أن يجلس خمسة طالب في صف من ثمانية كراسي 7

18 Combinations4 [ ] كم مجموعة جزئية للمجموعة x مكونة من عنصرين مثال اذا كان لدينا المجموعة } {, 2, = x نالحظ أن المجموعات الجزئية من x والمكونة من عنصرين هي : {, 2} {, } {2, } الحظ في هذا المثال انه في كل اختيار لم نضع اعتبارا للترتيب فمثال االختيار {2 }, هو نفسه } {2, واالختيار } {, هو نفسه } {, واالختيار } {2, هو نفسه 2} {, وأن عدد المجموعات الجزئية ثالث وليس ست. مثل هذا االختيار وهو اختيار عنصرين من بين ثالثة عناصر دون مراعاة الترتيب للعناصر التي تم اختيارها يسمى (توافيق) Combination وفي هذا المثال يقال : توافيق ثالثة ما خوذة اثنين اثنين. تعريف (-2) C (n, r) ( ) n r C n r - توافيق مجموعة منتهية من العناصر هو تنظيم لبعض او لكل هذه العناصر دون اعتبار (االهتمام) للترتيب الذي تنتظم به هذه العناصر. 2- عدد توافيق (n) من العناصرما خوذة (r) في كل مرة حيث r n وأن n, r اعداد صحيحة غير سالبة هو عدد طرق اختيار (r) من العناصر دون االعتبار (االهتمام) لترتيب هذه العناصر ويرمز لذلك بالرمز: أو أو C n ( r = n ) r = = P n r n! r! r! (n-r)! - اذا كان r < n C n ( = n ) r r = اذا كان n = r أو = 0 r 8

19 وقبل حل بعض االمثلة يتوجب التا كيد على أن الفرق الوحيد بين التباديل والتوافيق يكمن في االهتمام (مراعاة) او عدم االهتمام (عدم مراعاة) بالترتيب. a) C ( ) = = 5 5 = 5 P 5! C C 0 0 C 5 مثال 2 احسب : n!! = r! (n-r)! 5!( - 5)! = ! ! = 287 b) C 0 ( ) = 0 = 0 0 c) ( 20 ) C 20 = = C 5 2 مثال جد قيمة كال من 5 C ثم الحظ الناتجين. C 5 التبسيط التعويض القانون 5 4 2! 5! = n! = = 455 = r!(n-r)! 2! (5-2)! 2!! 2 = 455 5! = 5! = 5 C!(5-)!! 2! C 5 2 = C 5 نالحظ أن : C n r = C n n-r يمكن االستنتاج بصورة عامة أن : 9

20 اذا كان عدد االسي لة في الورقة االمتحانية (8) اسي لة والمطلوب االجابة على (6) منها فبكم طريقة يمكن االجابة الترتيب غير ضروري في االجابة على االسي لة االمتحانية لذا فإن : مثال 4 C 8 6 عدد الطرق = C ! = 8! = 6!(8-6)! 6! 2! طريقة = = 2 كم قطعة مستقيم يمكن تحديدها بنقطتين من مجموعة فيها (6) نقاط و ال توجد ثالث منها على استقامة واحدة C ! = 6! = 2!(6-2)! 2 4! عدد القطع المستقيمة يكون : = 5 مثال 5 ( n ) ( ) n+ 2 2 = ( n ) ( ) n+ 2 2 = = n! 2 (n+)! 2!(n-2)!!(n+-)! = n! 2 (n+) n! 2 (n-2)! 2 (n-2)! مثال 6 جد قيمة n اذا كان القانون التبسيط n+ = 6 n+ = 6 n = 5 الناتج 20

21 بكم طريقة يمكن اختيار لجنة مكونة من (5) طالبات (7) طالب من بين مجموعة مكونة من (8) طالبات (0) طالب مثال 7 في اللجنة المطلوبة (5) طالبات يمكن اختيارهن من بين (8) طالبات وعليه يكون : C ! = 8! = 5!(8-5)! 5!! C 8 5 عدد طرق اختيار الطالبات = طريقة = = 2 و 7 طالب يخ تارون من بين (0) طالب فيكون: C 0 7 عدد طرق اختيار الطالب = C = ! = 0! = 7!(0-7)! 7!! 2 طريقة = 20 وباستخدام مبدأ العد االساسي يكون : عدد طرق تكوين اللجنة = = 6720 صندوق يحتوي على (6) كرات حمراء, (4) كرات بيضاء يراد سحب (اختيار) (5) كرات معا بشرط أن تكون () كرات حمراء فقط بكم طريقة يمكن اجراء السحب مثال 8 C 6 C 4 2 C ! = 6! =!(6-)!! = 4! = 2!(4-2)! 2! 2 عدد طرق سحب () كرات حمراء = طريقة = 20 عدد طرق سحب كرتين بيضاء = C 4 2 طرق = 6 2 = 6 20 = 20 عدد الطرق الممكنة

22 a) C 5 b) C (8, 8) - جد قيمة كال من : ] + [ d) ) c) ( P 7 P جد قيمة n إذا كان : C n 20 = C n 5 - اي العبارات االتية صائبة واي منها خاطي ة a) C 6 6 = C0 4 b) C 25 2 P 25 2 = 2! c) n = 0 ( ) n 4 ( ) اذا كان = فإن n 6 d) عدد المجموعات الجزئية التي تحتوي على ثالثة عناصر التي يمكن تكوينها من مجموعة عدد عناصره عشرة هو. e) سبعة اشخاص ليسوا متمايزين يكون عدد طرق اختيار ثالثة منهم هو. P 7 f) عدد طرق اختيار شخصين من بين ستة اشخاص دون مراعاة الترتيب عند االختيار = 5 طريقة. (g n = r اذا كان = فإن n, r N لكل (h P 5 r P 5 n C 0 P =

23 4- اختر االجابة الصحيحة في كل مما يا تي : a) عدد طرق اختيار لجنة ثالثية من بين (0) اشخاص يساوي : 0! () (2) () ليس اي مما سبق (4) 0 P 0 C! b) اذا كان (n) عدد المجموعات الجزئية الثنائية التي يمكن تكوينها من مجموعة عدد عناصرها (6) فإن n يساوي: () 5 (2) 6 () 4 (4) 2 c) عدد القطع المستقيمة التي يمكن ان تصل بين اي رأسين من رؤوس مضلع سداسي يساوي: () 6 6 (2) () (4) ( ) 68 d) C C 6 2 P (2) 68 () 8 () (4) 60 8 P 68 8 (e اذا كان لدينا االرقام, 2,, 4, 5, 6, 7, 8, 9 فإن عدد االعداد المكون رمزها من اربعة ارقام مختلفة من بين هذه االرقام هو : ( ) 9 4 ليس اي مما سبق (4) 4 () (2) 9 () 5- يراد تشكيل لجنة من ستة اعضاء من بين (5) طالب (8) مدرسين فبكم طريقة يمكن أن تكون اللجنة محتوية على مدرسين اثنين فقط 6- صندوق يحتوي على (4) كرات حمراء ( 8 )كرات بيضاء سحبت ثالث كرات معا جد عدد طرق سحب: ) اثنتان حمراء و واحدة بيضاء. 2) على االقل اثنتان حمراء. 7- اذا كان عدد اسي لة امتحان مادة ما هو (0) اسي لة وكان المطلوب حل (7) اسي لة منها على أن نختار 2 (4) من الخمسة االولى فبكم طريقة يمكن االجابة

24

25 N ot مالحظات e s من قانون مفكوك ذي احلدين نالحظ : - عدد حدود المفكوك = +n هو 2- مجموع اسس x y في كل حد من حدود المفكوك = n C C معامل كل حد رتبته r في مفكوك (x+y) n هو فمثال معامل احلد الخامس في مفكوك C 8 4 n r- ويكون: = 8! = ! 4!(8-4)! 4! 4! (x+y) 8. n = (x) واس احلد االول n = (y) يكون اس احلد االخير (x+y) n 4- في مفكوك 5- اس احلد االول للمتغير x يبدأ بالتناقص من n الى 0 واس احلد الثاني للمتغيرy يبدأ بالتزايد من 0 الى n. 6- اذا كان n عددا زوجيا فإن عدد حدود المفكوك هو (+n) فرديا ويكون هناك حدا اوسط رتبته n اما اذا كان n عددا فرديا فإن عدد حدود المفكوك (+n) زوجيا ويكون هناك حدان 2 + (n+) (n+) اوسطان رتبتهما : (r)] يكون قانون احلد العام ] احلد الذي رتبته (x+y) n 7- في مفكوك C n 0-8 مفكوك (x +y) - n يكون بالشكل : n P r = C n r- x n-r+ y r- C C n n C C n 2 n x n - x n- y + x n-2 y 2 - x n- y (-y) n نالحظ في هذا المفكوك تكون احلدود سالبة او موجبة على التعاقب ويكون احلد االخير موجبا اذا كان n عددا زوجيا وسالبا اذا كان n عددا فرديا. 25

26 (x - y) 5 مثال جد مفكوك C C C C C C (x - y) 5 = x 5 - x 4 y + x y 2 - x 2 y + x y 4 - y = x 5-5 x 4 y + 0 x y 2-0 x 2 y + 5 x y 4 - y 5 مثال 2 جد مفكوك b) 4 (a C C C C C (a + b) 4 = (a) 4 + (a) b + (a) 2 b 2 + (a)b + b 4 = 8 a a b + 54 a 2 b ab + b 4 اوجد احلد الخامس في المفكوك (y 8 x) مثال P r = C n x n-r+ (-y) r- = C x 4 (-y) 4 r- P ! (8-4)! 4! = x 4 (8 y 4 ) n 2 + = 8 + = 2 5 = = 70 8 x 4 y 4 = 5670 x 4 y 4 ( x - ) 8 جد احلد االوسط في مفكوك 2 االس عدد زوجي فيوجد حد اوسط واحد رتبته مثال 4 C n r- P r = x n-r+ y r- احلد العام هو: P 5 = C 8 4 ( x ) 8-5+ ( ) 5-2 احلد االوسط هو احلد الخامس التعويض x 4 8! = 8 4! 4! 6 P 5 x 4 = التبسيط 26

27 ( a - 2 ) 7 2 a جد احلدين االوسطني في مفكوك االس عدد فردي فيوجد حدان اوسطان رتبتاهما n+ 4 = 7+ = n+ + = 4 + = مثال 5 P 4 = C 7 ( a ) 4 ( ) 2-2 a احلدان االوسطان هما الرابع والخامس 8 a = -8 = a a 2 P 5 = C 7 4 ( a ) ( ) a = a = a 4 a مثال 6 بسط المقدار (a-2) 4 (a+2) 4 + إلى ابسط صورة ثم جد قيمة المقدار عندما = a. (2 + a) 4 = p + p 2 + p + p 4 + p 5 (2 - a) 4 = p - p 2 + p - p 4 + p 5 (2+a) 4 + (2-a) 4 = 2 ( p + p + p 5 ) 2 [2 4 + C a 2 +a 4 ] =2 [ ] = 2 97 = 94 2 وعندما تكون = a تكون قيمة المقدار هي : a a باجلمع ضعف احلدود الفردية الترتيب في مفكوك (a+2) 4 مثال 7 بسط المقدار ) 5 - (a (a + ) 5 - إلى ابسط صورة. ضعف احلدود الزوجية الترتيب في مفكوك ) 5 + a) a 27 = (a + ) 5 - (a - ) 5 a a = 2 ( p 2 + p 4 + p 6 ) = 2 [ C 5 a 4 ( ) + C 5 a 2 ( ) +C 5 ( ) 5 ] 5 a a a = 2 [ 5 a ] a a 5

28 مثال 8 جد احلد الذي يحوي ) 8 (a في مفكوك ) a ( ثم جد معامله. نفرض أن رتبة احلد الذي يحوي a 8 في مفكوك ) a ( هي (r) فيكون : P r C ( ) 8-r+ (a 2 ) r- = = 8 r- 8 C 9-r a 2r-2 r- القانون والتعويض a 8 = a 2 r r = 8 اذا تساوت كميتان وتساوت االساسات تساوت االسس 2 r = 0 r = 5 P 5 = C (a 2 ) 4 هو الخامس = 5 r a 8 رتبة احلد الذي يحوي a 8 8 = 4 2 = 5670 a 8 P r = C n المعامل = 5670 r- = C 5 r- قيمة احلد مثال 9 جد احلد الخالي من (x) في مفكوك ) 5 -.( x 2 x نفرض أن رتبة احلد الخالي من ] x اي يحوي على [ x 0 هي (r) فيكون: x (x 2 ) n-r+ ( ) r- (x) 2(5-r+) (-) r- (x - ) r- القانون والتعويض = C 5 r- = C 5 r- x 2-2r (-) r- (x) -r+ x -r (-) r- x -r = x 0 - r = 0 = r r = اذا تساوت كميتان وتساوت االساسات تساوت االسس التبسيط الناتج 28

29 P = C 5 0 (x 2 ) 5-+ (-) - (x) -+ احلد الخالي من (x) هو احلد الذي رتبته () فيكون : = = = C 5 0!5 0! 5! قيمة احلد الخالي من = 00 x مثال 0 جد قيمة (0). نضع 0 بشكل حدين + 00 حدود المفكوك (+00) = (0) التبسيط (00) + C ( 00) + C (00) 2 + C = 2 الناتج (00)+()(0000) () + = =

30 4 - جد مفكوك كل مما يا تي : a) (a - b) 4 b) (x 2 + 2y) c) (2x - ) 6 2x -2 جد الحد الثالث في مفكوك ) 7 2 (x - y.. ( x 2 - x - جد الحد السادس في مفكوك ) جد الحد االوسط في مفكوك ) (a. a -5 جد الحدين االوسطين في مفكوك ) 7 - (2a. 6- جد الحد الذي يحوي على x 4 في مفكوك ) 6 2 +) x ثم جد معامله..(x + 2 ) 9 7- جد معامل x 2 في مفكوك x 2-8 جد الحد الخالي من (x) في مفكوك ) (x. x 9- جد قيمة (99) 4 (باستخدام مبرهنه ذي الحدين). -0 جد قيمة (98) 4-4.(02) - جد قيمة ) 7 - (2 + 7 ) +.(2 0

31 ال Øسπ الãاÊ ال اjاä hال سôªàاájQ Limits And Continuity 2 [ ] 22 [ ] x a 2 [ ] x a 24 [ ] 25 [ ] 26 [ ] 27 [ ]

32 Limit مفهوم الغاية limit من المفاهيم المهمة في الرياضيات وهي االساس لمفاهيم اخرى مثل استمرارية الدالة continuity of function وكذلك في حساب التفاضل differentiation والتكامل. integration Neighbuorhood2 [ ] لتوضيح مفهوم الجوار نعطي هذه المفاهيم البسيطة وصوال الى مفهوم الجوار. سبق ان تعلمت الفترات المفتوحة في االعداد الحقيقة وتم توضيحها على خط االعداد مثال الفترة المفتوحة ( (, تمثل على خط االعداد بالشكل : 2 نالحظ ان العدد 2 ينتمي للفترة المفتوحة ( ), وتوجد قيم في الفترة اكبر من العدد 2 وتكبر اقترابا للعدد. وكذلك توجد قيم أصغر من العدد 2 وتصغر اقترابا للعدد هذه القيم مثال تقع جوار العدد 2 من اليسار وكذلك القيم تقع جوار العدد 2 من اليمين تسمى هذه الفترة المفتوحة ( ), جوارا للعدد 2 تعريف ) - (2 اذا كان a عددا حقيقيا وكان < 0 (يقرأ ابسيلون) تسمى كل مما يا تي : a جوارا للعدد (a -, a + ) - -2 ) a (a -, جوارا للعدد a من اليسار - ) + a (a, جوارا للعدد a من اليمين لذلك يوجد عدد غير منتهي من الجوارات للعدد. a وحسب قيم الموجبة وكذلك ليس من الضروري أن a تنتمي لجوارها. 2

33 جوار العدد = 2 a هو الفترة المفتوحة ) + 2, - 2 ( 2 2 جوار العدد = 2 a هو الفترة المفتوحة ) 5, ( 2 2 جوار اليسار للعدد = 2 a هو الفترة المفتوحة ) 2, - 2 ( 2 جوار اليسار للعدد a هو الفترة ) 2, ( 2 جوار اليمني للعدد a هو الفترة ( + 2 ( 2, 2 جوار اليمني للعدد a هو الفترة 5 (, 2 ( 2 مثال اذا كان = 2 a = اكتب جوارا للعدد a ثم اكتب جوار اليسار وجوار اليمين. 2 مثال 2 اذا كان = a اكتب ثالث جوارت للعدد. a = يمكن ان نختار 2 a = () 5 جوار العدد هو الفترة ) 7, ( = ) 2 + 2, - ( = نختار a = (2) 4 جوار العدد هو الفترة ) 7, ( = ) +, - ( = يمكن ان نختار a = () 4 جوار العدد هو الفترة ) 5, ( = ) +, - (

34 Limit of Function22 [ ] توجد بعض المفاهيم يمكن توضيحها قبل الدخول في غاية الدالة والتي هي : - a x تعني ان قيم x هي االعدد الحقيقة القريبة جدا من العدد a يمينا ويسارا يمكن ان نقول ان قيم x هي االعداد التي تنتمي الى جوارات العدد a. مثال x 2 تعني ان قيم x هي وكذلك هي a x تقرأ x تقترب من a من جهة اليمين اي ان قيم x تقترب اكثر فا كثر من العدد a تقع في جهة اليمين اي اكبر من a. مثال + x تعني ان قيم x هي a x تقرأ x تقترب من العدد a من جهة اليسار اي ان قيم x تقترب اكثر فا كثر من العدد a تقع في جهة اليسار اي اصغر من a. مثال - x تعني ان قيم x هي الا ن سنوضح فكرة غاية الدالة با ستخدام التمثيل البياني للدالة موضحا بالشكل ( - 2) نالحظ هندسيا ان منحني الدالة f منفصل عند = 2 x نالحظ عندما x 2 من جهة اليسار (أقل من العدد 2) فإن قيم (x) y = f تقترب من 2 ايضا فيقال ان = 2 f(x) lim x 2 + مثال وكذلك نالحظ عندما x 2 من جهة اليمين ) اكبر من العدد ( 2 فإن قيم f(x) y = تقترب من 4 فيقال ان = 4 f(x) lim وتقرأ غاية الدالة f من اليمين تساوي 4 أي ان f(x) 4 y = x 2 + عندما + 2 x 4

35 4 2 2 الشكل ) - (2 مثال 2 الحظ الشكل االتي (2-2): 6 الشكل 2) - (2 انه عندما x يمينا ويسارا فإن (x) y = f تقترب من العدد 6 فيقال من ان = 6 f(x) lim تقرأ غاية الدالة f من اليمين واليسار وتساوي 6 عندما x 2 x الحظ في الشكل ( - 2) لم نتطرق عندما = 2 x الدالة معرفة اوغير معرفة والمهم ان الدالة معرفة بجوار العدد 2 وكذلك في الشكل (2-2). 5 والا ن سنوضح فكرة غاية الدالة بصورة آخرى.

36 x f (x) x من اجلدول السابق يتبني لنا عندما x 4 يمينا ويسارا فإن 7 (x) f يمينا ويسارا وتكتب وتقرأ غاية الدالة f تساوي 7 عندما x 4 كما في الجدول الا تي: x 4 + f (x) 7 f (x) lim x 4 مثال +x f (x) = نبحث غاية الدالة f عندما x 4 كما وضحنا سابقا تعني ان قيم x قريبة جدا جدا من العدد 4 وتمثل جوارات العدد 4 يمينا ويسارا وعند تعويض هذه القيم في الدالة نحصل على قيم للدالة f (x) f(x) = 7 لتكن x = (x) f حيث 2 x نبحث وجود غاية f عندما x 2 x - 2 سنوضح ذلك في اجلدول بعد آخذ قيم x قريبة جدا جدا من العدد 2 يمينا ويسارا اي انه جوارات العدد x f (x) نالحظ قيم (x) f تقترب من العدد 4 عندما قيم x 2 ويرمز لها = 4 f(x). lim x 2 2 ونعوضها في الدالة x = (x) f ونجد قيم (x) f كما في اجلدول الا تي: x - 2 x 2 - x f (x) 4 f (x) 4 مالحظة : في المثالني لم نتطرق للعدد 2 اي انه = 2 x ليس مهما ان تكون f معرفة او غير مثال 4 معرفة عنده والمهم ان f معرفة في جوار العدد 2. 6

37 x a2 [ ] احيانا تكون الدالة f معرفة عند جوار اليمين للعدد a فقط فيمكن ايجاد غاية الدالة f من اليمين فقط وسنوضح ذلك من خالل المثال الا تي : مثال 5 لتكن f (x) = 2 x حيث قيم x لنجد غاية f عندما + x نستخدم الجدول الا تي لتوضيح سلوك الدالة f عندما قيم x تقترب من من جهة اليمين فقط x + x f (x) f (x) 2 2 الشكل ) - (2 lim x + فيقال ان غاية f تساوي العدد 2 عندما + f(x) الغاية في اليمين فقط وتكتب = 2 x 7

38 x a24 [ ] احيانا تكون الدالة f معرفة عند جوار العدد a من اليسار فقط يمكن ايجاد غاية الدالة f من اليسار فقط سنوضح ذلك من المثال الا تي : x f (x) f (x) 0 فيقال ان غاية f تساوي العدد 0 عندما - x من اليسار فقط. وتكتب = 0 f(x). lim مثال 7 = f(x) حيث 0 x لندرس سلوك الدالة لتكن x عندما x 0 وهل للدالة f غاية عندما x 0 x أو < 0 تعني أن قيم x 0 x 0 الا ن ندرس سلوك الدالة عندما x 0 اي انه + 0 x االقتراب من اليمين با تجاه العدد 0 اجلدول < < مثال 6 لتكن f(x) = - x نبحث غاية الدالة f عندما - x نالحظ ان اوسع مجال للدالة f هو } x x : x R }اي انه الدالة f معرفة يسار العدد (اجلوار االيسر للعدد ) فقط في اجلدول الا تي نوضح كيفية ايجاد غاية الدالة f من اليسار فقط. x - x - الا تي يوضح ذلك: + 0 x x (x) f قيمها تتزايد وتكبر والتقترب من عدد ما (x) f x االقتراب من اليسار با تجاه العدد 0 اجلدول الا تي يوضح سلوك الدالة عندما - 0 x 0 - من اجلدولني يتضح لنا ان الدالة f x x (x) f f (x) قيمها تتناقص وتصغر والتقترب من عدد ما ليس لها غاية عندما 0 8

39 N ot مالحظات مهمة في غايات الدوال e s - نحدد مجال الدالة. f 2- عندما x a اليجاد غاية الدالة f ليس من الضروري ان تكون a تنتمي لمجال الدالة اي انه f(a) معرفة او غير معرفة ذلك غير مهم المهم أن الدالة معرفة جوار العدد a من اليمين او من اليسار. f(x) lim f(x) = L lim موجودتني. 2 = L وكانت - اذا كانت x a- x a+ L يقال ان للدالة f غاية عند L= 2 a L L 2 ويقال ان الغاية غير موجودة للدالة f عند a 25 - غاية الدالة (x) f ان وجدت فهي وحيدة lim f(x) = L lim f(x) وتعني : اذا كان x a++ - = L 2 x a+ [ ] L =L 2 فإن (غاية الدالة الثابتة = الثابت نفسه عند اي قيم تقترب منها x) -2 اذا كانت f(x) = c حيث c R عدد ثابت فإن lim x a f(x) = lim c = c x a = a) lim 2 = 2 b) lim = c) lim x x 0 x مثال 9 lim x a - اذا كانت f(x) = x فإن f(x) اي ان: lim x = a x a a) lim x = - 2 b) lim x = c) lim x = x -2 x = a x 4 4 مثال

40 lim x a [ f(x) + - g(x) ] = lim f(x) + - x -4 اذا كانت f(x) lim g(x) lim موجودتني فإن: a x a x a lim x a g(x) a) b) lim (x+4) = lim x + x x = + 4 = 5 lim (x-) = lim x - x -5 x -5 = -5 - = -8 lim x 4 lim x -5 مثال a) b) lim c f(x) = c. lim f(x) x a x a lim 4x = 4. lim x = 4. (2) = 8 x 2 x 2 5- اذا كانت f(x) lim موجودة وكانت c عدد ثابت فإن: مثال lim -x = - lim x = - (0) = 0 x 0 x 0-6 اذا كانت f(x) lim g(x) lim موجودتني فإن: x a x a x a a) b) lim [ f(x). g(x) ] = lim c) lim x - x = (-) = -27 f(x) lim g(x) x a x a x a lim = 2 2 = 4 x 2 x2 = lim x. lim x x 2 x 2 lim x (x+2) = ( lim x ).( lim ( x+2)) x ( x x = lim x) ( lim x + lim 2 ) =. ( + 2 ) = x x x. lim x a x n = a n مثال استنتاج n عدد صحيح موجب 40

41 -7 اذا كانت f(x) lim g(x) lim موجودتني وإن 0 g(x) lim فإن: x a x a x a lim x a f(x) lim f(x) = x a g(x) lim x a g(x) a) lim x + 2 x + = x lim (x + 2) x x x = lim (x + ) x lim x + lim 2 lim x x+ lim x مثال = = b) lim lim lim lim x 2-2 x x + 2 = (x 2-2) x 2-2 x x x = lim (x + 2) lim x+ lim 2 x x x = = x من اليمين واليسار ويمكن حل التمارين مالحظة : هذه المبرهنات تبقى صحيحة عندما a واالمثلة با ستخدام هذه المبرهنات كقواعد للحل. ) lim x - (x +2x) مثال 8 جد قيمة ما يلي : lim x - x + lim x - 2x = (-) + 2. lim x - x = (-) = = -

42 x 0 = x 0 = x 0 2) lim x x + lim (x 2 + 5) lim x 0 x2 + lim 5 lim (2x + ) lim 2x + lim x 0 x 0 x 0 = (0) + = f (x) = 5 x 2 + x لتكن 2 x x < مثال 9 هل للدالة (x) f غاية عندما x (2, 5) يمكن ان تمثل الدالة بيانيا كما في الشكل (2-4) (, 2) x من اليمين فإن f (x) = x 2 + عندما + الشكل 4) - (2 من تعريف الدالة في السو ال lim x + f (x) = lim (x 2 + ) = x + x 2 lim + lim = 2 + = 2 = L x + x + عندما - x من اليسار فإن f (x) = 2x من تعريف الدالة في السو ال lim lim lim x -f (x) = (2x) = 2. x = 2. = 2 = L x - x - 2 L = L 2 lim موجودة f (x) = 2 x 42

43 مالحظة : اذا كانت f دالة وأن lim موجودة فإن : lim x a lim x a f(x) 0 n f(x) x = a f(x) n lim f(x) x a حيث n عدد صحيح اكبر من (اي انه < n ) وان عندما n عدد زوجي lim 4x + 5 = lim (4x + 5) x -5 x حيث lim x 4x x = lim 4x + lim x x = 4() + 5 = 9 = 5 مثال 0 جد قيمة تطبيق المالحظة التعويض التبسيط lim f(x) x -2 مثال اذا كانت f : { x : x -2 x R } R وان + 2 x f(x) = جد lim f(x) = lim x + 2 x -2 x -2 f حسب مجال الدالة x 2- = lim ( x + 2 ) = lim x -2 x -2 x + lim x -2 2 = = 0 = 0 4

44 x x حيث - مثال 2 x جد قيمة lim x x - lim x x x x - x lim x (x - ) = = lim x (x - ) ( x x ) (x - ) ( x ) lim x = = lim ( x ) lim ( lim x x x + ) + 2 لو عوضنا قيمة = x في البسط والمقام مباشرة نحصل على قيمة المقدار = 0 وهي 0 كمية غير معر فة لذلك نضرب البسط والمقام بالعامل المرافق للبسط [لوجود اجلذر في البسط]. = = = lim x + lim x x x - x x 2 أي انه: مثال لتكن هل للدالة (x) f غاية عند 2 f (x) = x + x > 2 ) عند تمثيل الدالة بيانيا كما موضح في الشكل (2-5) نالحظ ان الغاية غير موجودة سنوضح ذلك كما يلي: عندما + 2 x فإن + x f (x) = من تعريف الدالة في السو ال 4 ثم جد غاية الدالة (x) f عند (-) عند 4 نجد الغاية من اليمين lim f (x) = lim (x+) = lim x + lim x 2 x 2 + x 2 + x 2 + = 2 + = = L 44

45 (, 4) (0, ) - (, 0) (2, ) (2, -) 45 x lim 2 +2 x a موجودة جد قيمة f (x) وأن f (x) = مثال 4 لتكن x 2 x+a x > L = L 2 الشكل 5) - (2 عندما - 2 x فإن من تعريف الدالة في السو ال f (x) = - x lim f (x) = lim (-x) = lim - lim x x 2 x 2 - lim (2x+a) = lim (x 2 +2) x + x 2() + a = a = a = x 2 - = - 2 = - = L 2 lim 2x + lim a = lim x 2 + lim 2 x x x + x + x 2 - غير موجودة الن L L 2 - {x : x2} lim f (x) = lim (-x) x - = + = 2 x - 4 {x : x2} lim f (x) = lim (x + ) x 4 = 4 + = 5 lim f (x) x 2 lim x (x) f نجد الغاية من اليسار موجودة فإن الغاية من اليسار الغاية من اليمين x 4 تطبيق قواعد الغاية التبسيط (2 (

46 مثال 5 لتكن وكانت lim موجودة وان x f (x) f (x) = جد قيمتي. a b R x 2 + a x > b - 2x x lim x - f (x) = 5 f (x) = b - 2x فإن - { x : x } وان lim = 5 (x) x - f lim x - ( b - 2x ) = 5 lim b - lim 2x = 5 x - x - b - 2 (-) = 5 b + 2 = 5 b = تطبيق قواعد الغاية التبسيط وكذلك هذا تعني ان lim موجودة x f (x) L = L 2 lim من اليمين x +f (x) = lim f (x) x - lim (x 2 + a) = lim (b - 2x) x x من اليسار lim x 2 + lim a lim = 2x x x x x 2 + a = - 2 () + a = a = 0 - lim 46

47 lim x 2 + x - = 2a+ x x + 2 مثال 6 اذا كانت جد قيمة. a lim ( x 2 + x - ) x تطبيق قاعدة القسمة في الغايات +2a = lim ( x + 2 ) x lim x x2 + lim x - lim x x تطبيق قواعد الغاية +2a = lim x + lim 2 x x = 2a+ + 2 التعويض = 2a+ التبسيط = 2a+ - = 2a 2a = -2 a = -. lim x 2-9 مثال 7 جد قيمة x x - lim x 2-9 x x - (x - ) ( x + ) lim x (x - ) lim ( x + ) = + = 6 x اذا عوضنا عن = x في البسط والمقام مباشرة نحصل على : وهذا غير معرف - = 0 لذلك يجب ان نبسط الدالة وكما يلي : lim x 2 حيث x, نحلل البسط كفرق بني مربعني x - 8 x 2-4 جد قيمة التعويض والتبسيط مثال 8 47 نحلل البسط كفرق بني مكعبني والمقام كفرق بني مربعني قبل توزيع الغاية وكما يلي : (x - 2) ( x lim 2 +2x +4 ) lim (2)+ 4 x 2 ( x 2 +2x +4 ) = = x 2 (x - 2) ( x + 2 ) lim ( x + 2 ) x 2 =

48 2 - جد قيمة كل مما يا تي : ) lim (x + 2x + ) x - 2) x 4 + lim x 0 x + ) lim x -2 4) lim x 5) lim x 6) lim x 2 7) 8) 9) 0) ) x 2 + 2x x 2 - x - 6 x 4 - x - x - 27 x 2 +2x - 5 x 2-2 x- 2 lim x + 7x 2-8x x x 2 - lim x + 8 x -2 x 4-6 lim x 2 - x x - lim x 2-9 x x - lim x 2 + x x - x جد قيمة a حيث. a x lim 2-2x + 6 R 2- إذا كانت x 4 x + = a - 4. a a جد قيمة lim x 2 - a 2 R - إذا كانت = 8 x a x - a 48

49 -4 اذا كانت = (x) f وكانت = 5 (x) lim f (x) = 8 lim f جد قيمتي a b x -2 ax2 + bx x احلقيقيتني. f (x) = x 2 - x > 2 2-2x x 2 5- لتكن a) هل للدالة f غاية عند 2 بني ذلك. lim x f (x) جد (b f (x) = x 2 + x x x < 2 6- لتكن هل للدالة f غاية عندما x 2 بني ذلك f (x) = a + 2x x - - x 2 x > - 7- لتكن وكانت (x) lim f موجودة جد قيمة a حيث. a R x - f (x) = x + a x x 2 - b x < 8- لتكن وكانت (x) lim f موجودة وأن = 5 2) f ( جد قيمة.a b R x 49

50 26 [ ] Continuity of a function at point b f (a) c(a, f (a)) c a الشكل 6) - (2 يمكن ان نوضح فكرة استمرارية الدالة عند نقطة من خالل االشكال البيانية للدوال الا تية عند النقطة المبينة في كل شكل ففي الشكل ) 6-2) نالحظ عندما نضع القلم في اقصى اليسار عند c ونحرك القلم با تجاه b مرورا بالنقطة (a)) ( a, f. اننا ال نرفع القلم اي ان احلركة تتم بدون رفع القلم. b c a الشكل 7) - (2 وفي الشكل (7-2) اذا تحركنا من c الى b فا ننا نجد فجوة في النقطة ((a) a), f نضطر لرفع القلم عبر الفجوة للذهاب الى b. b وكذلك الشكل (8-2) عندما نتحرك من c الى b نضطر a لرفع القلم مسافة لوجود انقطاع في المنحني عند. x = a c الشكل 8) - (2 50

51 من االشكال الثالث نالحظ ان الشكل (6-2) يكون المنحني مستمر في النقطة x = a فيقال ان الدالة مستمرة عندما x = a بينما في الشكلين االخرين وجود فجوة وانقطاع في المنحني عندما x = a فيقال ان الدالة غير مستمرة عند x = a سنوضح ذلك بالطريقة التالية وبا ستخدام التعريف. تعريف (2-2) اذا كانت f دالة وكان العدد a ينتمي الى مجال الدالة f وتحقق ما يلي : موجودة وحقيقية (a) - 2- f lim x a موجودة وحقيقية f(x) - lim f (x) = f (a) x a فيقال ان الدالة f مستمرة عند النقطة x = a واذا لم يتحقق اي شرط من الشروط الثالث اعاله فالدالة f غير مستمرة عند x = a x = a a الشكل 9) - (2 L حيث L 2 f دالة غير مستمرة عند x = a الن lim f (x) = L, lim f (x) = L x a + x a - 2 أي ان الشرط الثاني غير متحقق في تعريف (2-2) 5 الشكل 0) - (2 f دالة غير مستمرة عند x = a النه f(a) غير معرفة او a التنتمي لمجال الدالة أي ان الشرط االول غير متحقق في تعريف (2-2).

52 f(a) a a الشكل ) - (2 f دالة غير مستمرة عند x = a النه lim f(x) f(a) x a الشكل 2) - (2 x = a دالة مستمرة عند f مثال اذا كانت + 2 f (x) = x هل أن f مستمرة عند = x R كثيرة احلدود فإن اوسع مجال للدالة f ) f () = 2 + = 4 2) lim f (x) = lim (x 2 + ) x x = lim x 2 + lim = 2 + = 4 x x ) lim f (x) = f () x x مستمرة عند = f 52

53 27 [ ] اذا كانت كل من الدالتين g, f مستمرتين عند x = a فإن x = a مستمرة عند g + - الدالة f الدالة g. f مستمرة عند x = a g الدالة f مستمرة عند x = a بحيث 0 (a) g f x x+ مثال 2 ابحث استمرارية الدالة حيث = (x) عند = x. ) اوسع مجال للدالة = {-}\ R. الدالة معرفة عند = x وأن = = () f + 4 وكذلك نبحث وجود الغاية 2) ) lim x = x lim f (x) = lim x x x x+ lim (x+) x = = + 4 lim f (x) = f () = x 4 x مستمرة عند = f مثال ابحث استمرارية الدالة عند = x. f (x) = x + x اوسع مجال للدالة = R ) f () = + وان = 2 x معرفة عند = f 5

54 2) lim f (x) = lim x x (x + x) = lim x + lim x x x ) = + = 2 lim f (x) = f () = 2 x x مستمرة عند = f مثال 4 لتكن + 2 x f (x) = هل f مستمرة عند x = a بني ذلك. اوسع مجال للدالة f هو R لكل a R لنبرهن f مستمرة عند. x = a ) 2) ) lim x a f (a) = a + 2 f (x) = lim ( x + 2 ) x a = lim x + lim 2 x a x a = a + 2 lim f (x) = f (a) x a أوال lim f (x) = lim ( x 2 + ) = lim x 2 + lim x 0 + x 0 + x 0 + x 0 + = = = L الدالة f مستمرة عند x = a مثال 5 لتكن هل f مستمرة عند = 0 x ) 2) f (x) = f (x) = x 2 + f (0) = = 2x + x < 0 x 2 + x 0 الغاية من اليمين فإن lim x 0 f (x) عند = 0 x لنبحث وجود 54

55 lim f (x) = lim ( 2x+ ) x 0 - x 0 - = lim 2x + lim = 2(0) + x 0 - x 0 - = = L 2 ثانيا الغاية من اليسار L L 2 الغاية غير موجودة عند = 0 x (-,) (0,) (2,5) 2x + x < 0 x y x 2 + x 0 x y فجوة x غير مستمرة عند = 0 f 2- x x < - f (x) = 2x 2 + x - مثال 6 لتكن ابحث استمرارية الدالة f عند - = x عند - = x فإن + 2 f (x) = 2x ) 2) f (-) = 2(-) 2 + = 2() + = lim x (-) + لنبحث وجود (x) f lim f (x) = x (-) + lim x (-) + ( 2 x 2 + ) أوال الغاية من اليمين = 2 (-) 2 + = 2() + = =L 55

56 ثانيا lim f (x) = x (-) - lim x (-) - (2 - x ) الغاية من اليسار = 2 - (-) = 2 + = =L 2 L = L 2 = lim x (-) - f (x) = (-2,4) (-,) (,) ) lim x - f (x) = f (-) = (0,) x = مستمرة عند - f x + x 2 +. x ابحث استمرارية الدالة عند = f (x) = مثال 7 لتكن ) 2) ) lim x f (x) lim x f () = f () = = = lim x lim x lim x f (x) = = 2 2 x + x 2 + (x + ) (x 2 + ) f () = 2 x مستمرة عند = f = معرفة حيث f () = 4 =

57 . x = ابحث استمرارية الدالة عند - f (x) = مثال 8 لتكن x + x - x 2 x < - (-2,4) (-,) (0,) (-,-2) ) f (x) = x + f (-) = (-) + x = - 2) = - + = -2 lim x - f (x) لنبحث وجود لتكن - x من اليمين lim f (x) = lim (x +) = (-) + x (-)+ x (-)+ = - + = -2 L = وكذلك - x من اليسار lim f (x) = lim x 2 = (-) 2 = = L 2 x (-)- x (-)- 57 L L 2 الغاية غير موجودة x = غيرمستمرة عند - f

58 22 - لتكن + 2 f (x) = x +x ابحث استمرارية الدالة عند = x. = (x) f اثبت f مستمرة في مجالها. 2- لتكن x لتكن f (x) = x ابحث استمرارية الدالة في مجالها. x 2 x x x = ابحث استمرارية الدالة عند - f (x) = 4- لتكن x + x < - -5 لتكن 2 - x f (x) = ابحث استمرارية الدالة عند = 2 x. - 2x x 2. x مستمرة عند = 2 f اثبت ان f (x) = 6- لتكن - x x > 2 2 ax + x.x مستمرة عند = f اذا كانت a R جد قيمة f (x) = 7- لتكن x x < 2 + 2x+b x - = (x) f جد قيمتي b a R اذا كانت f مستمرة 8- لتكن x x > 2 +a - عند - = x وان = 7 (2) f. 58

59 ال Øسπ الãالå الTEسà ا Differentiation 59 [ ] [ ] 2 [ ] [ ] 4 [ ] 5 [ ] 6 [ ] 7 [ ] 8 [ ] 9 [ ] 0

60 [ ] تعريف ) - ( x 0 الذي ينتمي إلى مجال الدالة إذا كانت يقال للدالة احلقيقية (x) y = f إنها قابلة لالشتقاق عند الغاية الا تية موجودة f (x 0 + x) - f(x 0 ) y lim x 0 x dy او dx f(x 0 او ) وان قيمة الغاية تسمى مشتقة الدالة في تلك النقطة ويرمز لها بالرمز f(x 0 ) = lim x 0 f (x 0 + x) - f(x 0 ) x أي ان : إذا كان f(x) = x 2 جد ()f باستخدام التعريف. مثال f(x 0 ) = lim x 0 f (x 0 + x) - f(x 0 ) x القانون f() = lim x 0 f (+ x) - f() x التطبيق = lim x 0 (+ x) 2 - () 2 x التعويض = lim x 0 9+6( x) + ( x) 2-9 x التبسيط 60

61 = lim x 0 6( x) + ( x) 2 x f() = lim x 0 x (6 + x) x استخراج عامل مشترك = lim x 0 بالتعويض عن = = x) + (6 x = 0 مثال 2 f(2) إذا كان جد باستخدام التعريف. f(x) = x 2 + x + f(2) = lim x 0 f (2+ x) - f(2) x التطبيق = lim x 0 (2+ x) 2 + (2 + x ) + - ( ) x التعويض = lim x 0 4+4( x) + ( x) x x التبسيط = lim x 0 5( x) + ( x) 2 x = lim x 0 x(5+ x) x استخرج x عامل مشترك من البسط = lim 5 + x x 0 f(2) = = 5 بالتعويض عن x = 0 6

62 f(x) = lim x 0 f (x+ x) - f(x) x = f(x) x جد مشتقة الدالة مثال مستخدما التعريف. = lim x 0 = lim x 0 f(x) = lim x 0 x+ x - x x - x - x - x x (x + x ) x x (x + x) x x = - x 2 مثال 4 جد مشتقة الدالة = f(x) مستخدما التعريف. x f(x) = lim x 0 f (x+ x) - f(x) x القانون = lim x 0 x+ x - x x التطبيق = lim x 0 x+ x - x x+ x + x x x+ x + x الضرب في العامل المرافق للبسط = lim x 0 x x ( x + x + x) التبسيط f(x) = lim x 0 ( x + x + x) = 2 x بالتعويض عن x = 0 62

63 2 [ ], الشكل ) - ( Q (x 2, y 2 p x) نقطة معينة على منحني الدالة وكانت ), y لتكن (x) y = f دالة حقيقية ) x 2 = x + x y 2 = y + y نقطة اخرى على المنحني فإن: Q (x 2, y 2 ) = Q (x + x, y + y) y + y = f (x + x) y = f (x ) النقطة من الرسم يتضح : بالطرح y = f (x + x)- f (x ) y f (x = بالقسمة على 0 x x)- f (x ) + x x x معينة واخذنا x تصغر شيي ا فشيي ا وتقترب الى الصفر عندها الميل (m) يقترب الى واذا كانت قيمة معينة نقول عن تلك القيمة غايتها وعليه سيكون ميل المماس للمنحني في النقطة p 6 f(x) = y = dy dx lim x 0 f (x + x)- f (x ) x وهي تمثل ميل المماس عند النقطة P ويعبر عنها باحدى التعابير االتية : المشتقة االولى للدالة عند نقطة التماس = ميل المماس عند تلك النقطة

64 x) نقطة على منحني الدالة فإن معادلة المستقيم المماس لمنحني, y اذا كانت f(x) y = دالة ولتكن ) (x تكون:, y الدالة f(x) y = والمار بالنقطة ) y - y = m (x - x ) مثال 5 اذا كان + x f(x) = 2x 2 + جد باستخدام التعريف (2)f ثم جد معادلة المماس للمنحني عند x = 2 نعوض عن 2=x لنجد نقطة التماس f(2) = 2(2) 2 + (2) + = 5 (2,5) f(x 0 ) = lim x 0 f(2) = lim x 0 f (x 0 + x) - f(x 0 ) x f (2+ x) - f(2) x القانون التطبيق = lim x 0 2 (2+ x) 2 + (2 + x) x التعويض = lim x x +2 ( x) ( x) x التبسيط = lim x 0 = lim x 0 ( x) +2 ( x) 2 x ( +2 ( x)) = + 0 = y -y = m (x - x ) y - 5 = (x - 2) ميل المماس للمنحني عند (2,5) معادلة المماس = y x - 64

65 [ ] االزاحة والزمن مقادير فيزيائية اساسية تستطيع قياسها. نفترض في زمن (t) ان جسما كان في الموقع f(t) s = وفي زمن t + t اجلسم يكون في الموقع: s + s = f (t + t) s = f(t) بالطرح s = f (t + t) f (t) بما ان معدل السرعة هو الفرق بني المسافتني مقسوم على الفرق بني الزمنني وعليه يمكن ان نقول ان معدل السرعة تكون s مقسوما على t s t = f (t + t) f (t) t السرعة = في هذا القانون عندما t تصغر وتقترب الى الصفر فإن معدل السرعة تصبح السرعة الا نية للجسم في تلك اللحظة. ونرمز لها بالرمز ) t v ( v ( t ) = lim t 0 f (t + t) f (t) t اي ان : لكن المعادلة االخيرة هي نفس تعريف المشتقة. (a(t)) v ( t ) = d s d t = f ( t ) وبما ان التعجيل يمثل معدل السرعة بالنسبة للزمن فإن مشتقة السرعة االنية يكون تعجيل اجلسم a ( t ) = d v d t = lim t 0 f (t + t) vf (t) t v 65

66 مثال 6 لتكن تمثل حركة جسم في اي حلظة باالمتار جد موقع اجلسم وسرعته f(t) = 2 t 2 + بعد 2 ثانية من بدأ احلركة. f(t) = 2 t 2 + f (2) = 2 (2) 2 + متر = + 8 = موقع اجلسم f(t) = lim t 0 = lim t 0 = lim t 0 = lim t 0 f (t+ t) - f(t) t f (2+ t) - f(2) t 2 (2+ t) t t +2( t) 2-8 t = lim t 0 t (8 + 2( t)) t متر / ثا = 8 (0) = سرعة اجلسم بعد 2 ثانية a(2) = a(2) = v (2) lim t 0 مثال 7 لتكن v (t) = t 2 جد التعجيل بعد 2 ثانية. = = lim t 0 = lim t 0 lim t 0 t(2 + ( t)) t v (2+ t) - v(2) t (2+ t) 2 - (2) 2 t ( t) + ( t) 2-2 t = = 2 م/ثا 2 التعجيل 66

67 - جد مشتقة الدالة f (x) = x 2 +5x باستخدام التعريف ثم احسب () f f (0), 2- جد المشتقة بطريقة التعريف لكل مما يا تي : f (x) = x - (a f (x) = x + (b - اذا كانت - 4 -x f (x) = x 2 جد (x) f مستخدما التعريف ثم جد معادلة المماس لمنحني الدالة عند = x. -4 جسم يتحرك وفق العالقة حيث f االزاحة باالمتار معطاة بالعالقة + +2t f (t) = t 2 جد سرعة اجلسم بعد ثواني من بدأ احلركة. -5 اذا كانت السرعة معطاة بالعالقة + t v (t) = t 2 + م/ثا. جد التعجيل عند = t ثانية. 67

68 4 الدالة الثابتة تكون دائما قابلة لالشتقاق وان مشتقتها صفرا اي اذا كانت y = f (x) = C دالة ثابتة Cc r R dy dx = df dx = d C dx c ( ) = 0 فان a) f (x) = f (x) = 0 b) f (x) = 5 f (x) = 0 c) f (x) = a f (x) = 0 (x) f جد : مثال 8 f (x) = x n d dx (xn ) = nx n جد مشتقة الدوال الا تية : اذا كانت فإن : مثال 9 a) f (x) = x 5 f (x) = 5x 4 b) f (x) = x f (x) = x 4 = x 4 5 c) f (x) = x 2 f (x) = 5 2 x 2 d) f (x) = x 2 f (x) = 2 x 2 = 2x 2 e)g(t) = 5 t g(t) = t 5 g(t) = 5 t 4 5 = 5t

69 مشتقة مقدار ثابت مضروب في دالة قابلة لالشتقاق تساوي الثابت في مشتقة تلك الدالة. حيث ان C عدد حقيقي cg(x) f (x) = cg(x) f (x) = a) f(x) = x 2 f (x) = (2x) = 6x b) f (x) = 5x 4 f (x) = 5(4x) 5 = ) 20x = 20x (x) f جد : مثال 0 مشتقة مجموع (طرح) عدد منتهي من الدوال القابلة لالشتقاق تساوي مجموع (طرح) مشتقات f (x) = g(x) + h(x) f (x) = g(x) + h(x) تلك الدوال اذا كان فا ن a) f (x) = x 5 + 7x f (x) = 5x (x) f جد : مثال b) f (x) = 2x x f (x) = 4x + 2 c) f (x) = 2 x2 4 x + 9 f (x) = x + - 4x 2 مشتقة حاصل ضرب دالتني قابلتني لالشتقاق يساوي الدالة االولى مشتقة الدالة الثانية + الدالة الثانية مشتقة الدالة االولى اذا كانت g(x) h(x) f (x) = f (x) = g(x) h(x) + h(x)g(x) فإن : 69

70 a) f (x) x = (xx 4 x 2 + )(5xx 6 x) x جد : f (x) x a) f (x) (x x )(5x x) f (x) (x 4 x 2 )(0x 5 ) (5x f (x) x = (xx 4 x 2 + )(0xx 5 ) + (5xx 6 x)(4xx x 2x) x f (x) (x x )(0x ) (5x x)( b) f (x) x x 6 f x x x 6 2 b) f (x) x = x x + 6 x x x+ 6 ( ) f ( x) = x f x x x 6 x f ( x 2 ) = x ( ) + ( x + 6) x x x = 2 + x x 2 x x x 2 x 2 ( ) مثال 2 f x x + x = x x 4 + ( x )( xx 2 ) ( x +) ( 4xx ) ( x 4 + ) 2 x ( 4 ) ( ( ) 2 ) ( + 4) 4 4 x ( 4+ + ) 2 ( ) = x 4 + ( ) = 4 + = x 2 + x مشتقة قسمة دالتني قابلتني لالشتقاق يساوي دالة المقام مشتقة دالة البسط - دالة البسط مشتقة دالة المقام ( ) مربع دالة المقام f (x) = g x x h( x ) f (x) = h ( x ).g ( x ) g ( x ) h ( x). x [ h x ] 2 f ( ) ( ) 2 f ) = = = 2 4 = 2 وان اذا كان 0 x h(x) فإن : مثال جد مشتقة الدالة عند = x اذا كانت ( ( ) ) 70

71 مشتقة دالة مرفوعة الى اس حقيقي h قابلة لالشتقاق فان الدالة f (x) x تكون قابلة لالشتقاق حيث x ( ) = h( x ) f x n ( ) = n h( x) ( ) f x x n h x اذا كانت الدالة ) ( فإن a) f x ( ) = x + x 2 + x + f (x) xn في كل مما يا تي : 5 ( ) ( ) 4 ( x 2 + 2x + ) ( ) = 5 x + x 2 + x + f x x x x x x مشتقة داخل القوس b) f x x x ( ) = x 2 2x + ( ) 2 ( ) = x 2 2x + f x x x ( ) ( ) = 2 x2 2x + ( ) f x x x 2 2xx 2 ( ) = f x ( x ) x 2 2x x + مثال 4 جد ) ( c) f ( x ) = x x + 4 ( ) x عند نقطة = f x جد f ( x) f () f () = x (x +)()- (x)() 4 x + (x +) x ) 2 x = 4 + = = 8 2 ( + ) 2 7

72 مالحظة لتكن (x) =y f دالة مشتقتها (x) f ويطلق عليها المشتقة االولى للدالة (x) f وهي دالة d 2 y لنفس المتغير x وعليه فان المشتقة الثانية هي مشتقة المشتقة االولى ويرمز ) ( x dx 2,y, f مثال 5 اذا كانت + y = x 4 + 5x جد y,y f y = x 4 + 5x + y = 4x + 5x 2 y = 2x 2 + 0x f f ( ), f ( x), f ( x) جد f ( x) = 2x x f ( x) = 2x x f ( x) = 6x 2 x 2 f x ( ) = 6x x 2 f ( x) = 2x + 6x f ( x) = 2x + x 6 x f ( ) = 2( ) + 6 ( ) x 2 6 x 2 6 = 2 6 = 8 مثال 6 اذا كانت 72

73 2 - جد باستخدام القواعد مشتقة كل من الدوال التالية عند العدد المو شر ازائها: a) f x b) f x ( ) = x 4x 2 + x ( ) = ( 4 x) x 2 + c) f ( x) = 4 5x d) f ( x) = e) f ( x) = x + x 2 + x + 2x + x ( ), x =, x = 2, x = -, x = 0, x = - ( ) 4 ( ) = x 2. x عند =2 f ( x), f ( x) جد f x 2- اذا كانت f ( 2), f ( x) ( ) 2 ( ) = x + x 2 f x جد - اذا كانت 7

74 5 [ ]. x عند = f x مثال 7 جد معادلة المماس لمنحني الدالة + 2 5x = x 2 ) ( f x 2x 5 f 2 ( ) = = 2 ( ) = 2x 5 f ( ) = 2( ) 5 = f yf xy m x5 2 2 yf y = 2 m 5x x 2 2 ( ) ( ) y + 2 = x y + 2 = x + y + x = 0 النقطة 2),- ( ميل المماس معادلة المماس عند =5 x. مثال 8 جد معادلة المماس لمنحني الدالة + x f ( x) = f ( x) = (x + ) f( x) = (x + ) () -2 نعوض في المعادلة االصلية = 5 x f ( 5) = 5 + = 2 النقطة (5,2) f x ( ) = ( 5 x + ) 2 ميل المماس عند اية نقطة ( ) = = f 5 = 2 2 (5+) ( ) y y = m x x y 2 = 2 x 5 2y x 9 = 0 ( ) 2y 24 = x 5 معادلة المماس حيث ان 5) ( f m = 74

75 مثال 9 جد معادلة المماس والعمود على المماس للمنحني عندما 5=y y = 2x + x 5 = 2x + 2x + = 5 5 x x) = x = 4 7 = 2 y = ( x) 2 y 5 y 5 = x 2 7 x 2 ( ) ( 2x + )( ) ( ) = ( x) 2 7 f ( 52 ) = ( x) = 7 = m 2 2 x y y = m x x ( ) x 7 ( x) 2 النقطة (2,5) ( ) y - 5 = 7x - 4 y - 7x +9 = 0 ميل المماس معادلة المماس ( ) y y = m x x y 5 = 7 x 2 ( ) 7y 5 = x + 2 7y + x 7 = 0 7 ميل العمود = معادلة العمود (ميل العمود يساوي مقلوب ميل المماس بعكس االشارة) 75

76 مثال 20 جد معادلة المماس للمنحني عند نقطة تقاطعه مع محور الصادات y= x 2 + نقطة التقاطع مع محور الصادات يعني = 0 x y = x 2 + y = 2x = 2 (0) = 0 ( ) y y = m x x y - 5 = 0 (x x ) = m y - = 0 y = 0 + = النقطة هي (0,) ميل المماس للمنحني معادلة المماس f x والتي عندها المماس يوازي مثال 2 جد نقطة تنتمي الى المنحني + 5 4x = x 2 ) ( المستقيم الذي معادلته = 0 + 2x y + - معامل x معامل y 2 = ميل المستقيم المعلوم = ميل المستقيم ميل المماس = ميل المستقيم المعلوم النهما متوازيان -2 f ( x) = 2x 4 2x 4 = 2 2x = 2 x = y = 2 4 y 2 y = 2 y ( ) + 5 نعوض في المعادلة االصليه الستخراج قيمة y النقطة (,2) 76

77 مثال 22 اذا كانت الدالة f ( x) = x 2 + ax + b وكان ميل المماس للمنحني عند - x= هو 4 s( t) ( ) = 2x + a ( ) + a a = 6 x( ) ( ) 6) + b f x 4 = 2 2 = 2 = b = 6b = وكان المنحني يمر بالنقطة (,2 ( جد قيمة b, a احلقيقيتني. مثال 2 جسم يتحرك عليخط مستقيم وفق العالقة + 4t s( t) = t + t 2 + حيث تقاس باالمتار والزمن بالدقائق جد موضعه وسرعته وتعجيله بعد (5) دقائق من بدأ حركته. ( ) = ( 5) ( 5) 4+ 5 ( 25 ) = متر = ( 25 ) = st ( t) s= t t 2 + t 6t t 4 ( ) = ( 5) 2 + 6x5 + 4 = = 09 ( ) = v(t) v t = s (t) 6t = 66t+6 ( ) = 6 ( 5) + 6 = 6 s 5 s 5 v t v 5 a t v t 6t 6 a 5 f(x) = x 2 + ax + b, f(x) = 4 نعوض (,2 ( بالدالة االصلية السرعة الموقع م/دقيقة مثال 24 يتحرك جسم على خط مستقيم وفق العالقة t )s (t = t 2 حيث يقاس البعد بالكيلو مترات والزمن بالساعة. احسب : ) السرعة بعد خمس ساعات. التعويض التبسيط االشتقاق االول االشتقاق الثاني 2 التعجيل م/(دقيقة) 77 s(t)=t t s 2-20t+20 )v )vt t= s tt 2t 20 v v5 5 ( ) ( ) = 2t 20 (السرعة) كم/ساعة 0 20= 5 2 = ) ( 2) ب عده عندما تصبح سرعته صفرا. 2)2t 2)2t 20 = 020 t 0= 0t 0 ساعة s 0 s( 0 ) 2 s= ( 0 20 ) الب عد كم 20= = 00 00

78 مثال 25 يتحرك جسم على خط مستقيم وحسب العالقة + 2t )s (t = اوجد الزمن م/ثا. الذي يستغرقه حتى تصبح سرعته s( t) = ( 2t + ) 2 رفع اجلذر = االس/دليل اجلذر v( t) = s ( t) = ( 2 2t + ) االشتقاق 2 2 v tv t ( )( = ) التبسيط ( 2t + ) 2 ( 2t + ) 2 ( 2t + ) 2 = 2t + = 9 t = 4 = بالتربيع ثانية مثال 26 قذف جسم نحو االعلى عن سطح االرض با زاحة معطاة وفق العالقة )s (t = 96t 6t 2 حيث ان (t )s االزاحة باالمتار t بالثواني. احسب : ) سرعة اجلسم بعد ثانيتني. 2) متى تصبح سرعته صفرا ( ) = 96t 6t 2 ( ) = s ( t) = 96 2t ( ) = = 2 s t v t s 2 ) السرعة بعد 2 ثانية م/ثا 2) عندما تصبح سرعته = صفر v( t) = 96 2t 0 = 96 2t, v(t) = 0 2t = 96 t = 96 ثانية = 2 78

79 مثال 27 اذا تحرك اجلسم وفق العالقه + 2 8t s ( t ) = t 6t 2 + حيث t) s( باالمتار t الزمن بالثانية احسب بعد اجلسم عن 2t نقطة t 2 بداية t احلركه t s وسرعته v عندما يصبح تعجيله صفرا. ( ) = t 6t 2 + 8t + 2 ( ) = s ( t ) = t 2 2t + 8 ( ) = 6t 2 s t v t v t 2 6t 6t 2 2 = 0 0 t = t = 2 بعد اجلسم عن نقطة بداية احلركة ثانية 2 ( ) = 2 6 ( 2) 2 + 8(2) + 2 s 2s (2) 2 s (2) متر = = v 2 v ( ) = ( 2) 2 2( 2) السرعة متر/ثا = = 79

80 6 [ ] في االقتصاد يمكن اعتبار كمية ما كدالة لمتغيرمستقل واحد يمثل كمية اقتصادية فمثال دالة التكلفة الكلية function) (total cost وسنرمز لها ) ( على (x c ( داله الكلفة احلدية وسنرمز لها MC اما معدل الكلفة سنرمز لها AC وتساوي dy d اما معدل الكلفه احلدية فهي ) ( c x وهي داله لمتغير x يمثل حجم االنتاج. ويطلق c ( x) x AC dx ac مثال 28 لنفرض ان دالة الكلفة الكلية النتاج سلعة ما x c( x) = x 2 جد : ( ) = 6x 60 (a) دالة الكلفة احلدية. (b) دالة معدل الكلفة. (c) دالة معدل الكلفة احلدية. (d) حجم االنتاج الذي يعطي اقل معدل كلفة والكلفة الكلية. a)mc MC = c x دالة الكلفة احلدية b)ac = c( x) = x2 60x AC x x x دالة معدل الكلفة = x = 60 x x x دالة معدل الكلفة احلدية ( d (c dx ac) = d 200 c) AC d d ac x 60 + dx x = 200 x 2 اليجاد حجم االنتاج الذي يعطي اقل معدل كلفة نجعل المشتقة االوليل AC صفرا 200 x 2 = 0 x = 0 x = 20 والكلفة الكلية c( 20) = ( 20) 2 60 ( 20) =

81 . x عند = 0 f ( x) - جد معادلة مماس المنحني + 5 9x = x x جد معادلة كل من المماس والعمود على المماس للمنحني ) x y = ( عند = 2 x. عند = x. f ( x) = x 2x + x جد معادلة المماس للمنحني f x بحيث يكون عندها المماس موازيا لمحور -4 جد النقط على المنحني + 4 9x = x x 2 ) ( السينات. -5 جد نقطة على المنحني + 5 4x f ( x) = x 2 عندما يكون مماس المنحني يوازي المستقيم 0 y= 2x - 6- جسم يتحرك على خط مستقيم بحيث ان بعده باالمتار والزمن بالثواني معطى بالعالقة s( t) = 2t احسب بعده عندما تصبح السرعة متر/ثا. s t حيثان s بعدهباالمتار t الزمنبالثوانياحسب. 20 c( x) = x + -7 اذا تحرك جسم وفق العالقه + 7 9t = t 6t 2 + ) ( a) بعد اجلسم من نقطة بدايه احلركة عندما تصبح سرعته صفرا. b) بعد اجلسم من نقطة بدايه احلركة عندما يصبح التعجيل صفرا. 8- لنفرض ان الكلفه الكليه لصنع x من وحدات سلعة ماهي x جد الكلفه احلديه عندما يكون عدد الوحدات المصنوعة لتكن دالة الكلفه الكليه + 5 2x c( x) = 2 x2 جد دالة الكلفة احلدية دالة معدل الكلفة الكلية. 8

82 7 [ ] غالبا مانصادف في حياتنا العملية مسائل يستوجب انجازها إيجاد النهايات العظمى أوالنهايات الصغرى وكذلك يمكن استخدامها في رسم مخطط بعض الدوال. تعريف (-2) f x دالة معرفة على فترة.عندئذ لتكن ) ( x 2 في الفترة, x - يقال ان الداله (x f ( متزايدة (Increasing) على الفترة الي عددين x < x 2 f (x ) < f (x 2 ) x 2 في الفترة,x 2- يقال ان الداله (x f ( متناقصة (Decreasing) على الفترة الي عددين x < x 2 f (x ) f (x 2 ) < y Increasing y Decreasing f (x ) f (x 2 ) f (x ) f (x 2 ) x x x 2 x x 2 x x < x 2 f (x ) < f (x 2 ) x < x 2 f (x ) f (x 2 ) < 82

83 ( ) = 0 ( ( )) تعريف (-) f x او x عنصر في مجالها فا ن النقطة,x f x تسمى حرجة لتكن f دالة. x أن الدالة f غير قابله لالشتقاق عند اال أننا سوف ندرس النقاط احلرجة التي تكون عندها الدالة قابلة لالشتقاق وقيمة المشتقة عندها تساوي صفرا. مثال 29 جد النقاط احلرجة للدالة + 6 x f ( x) = x ( ) = x 2 ( ) = 0 f x f x x 2 = 0 x 2 = 0 x x 2 = 6 f ( ) = ( ) + 6 = 4 4, (,4) f f ( ) = ( ) ( ) + 6 = = 8,8 النقاط احلرجة ),4,4, (,8,8), ( ( ) حل المعادلة -+ = x ايجاد النقط اشتقاق جعل المشتقة = صفرا y = f x وبذلك نحصل على النقاط احلرجة. اليجاد النقاط احلرجة لدالة معلومة - نجد x) f ( x) f ( إن امكن 2- نجد قيم x التي تجعل = 0 - لكل قيمة للمتغير x حصلنا عليها من (2) نجد ) ( 8

84 مثال 0 لكل من الدوال االتية جد ان وجدت النقاط احلرجة ومناطق التزايد ومناطق التناقص f ( x) = x 2-4x + ( 2x 4 = 0 x = 2 f ( 2) = y = 2 2 4( 2) + y = y نجد x) f ( نجعل = 0 ) ( f x نجد احداثيها الصادي f x وذلك باالستعانه بخط االعداد احلقيقيه بالطريقة النقطة (,2 ( هي نقطة حرجة واليجاد مناطق التزايد أو التناقص نعني اشارة ) ( نرسم خط االعداد ونعني عليه قيم (x) التي عندها نقط حرجة وعندها ينقسم خط االعداد الى االتية : مجموعات. f x في تلك المجموعة التي f x موجبة ) ( اشارة x) f ( ثم نختار عنصر من كل مجموعة ونعوضه في (x f ( فنحصل على اشارة ) ( اخترنا فيها العنصر. وفي هذا المثال ناخذ عدد اكبر من (2) ليكن = x ونالحظ ان اشارة ( ) > 0 فتكون f x لكل > 2 x الدالة متزايدة في هذه المجموعة. ونختار عددا اصغر من (2) ليكن =x نالحظ اشارة ( ( f سالبة اي ان < 0 (x f ( x < 2 2 x > f ( x) = 2x 4 لكل < 0 x الدالة متناقصة في هذه المجموعة. الحظ الشكل: ( الدالة متزايدة في 2} > r,x { x : x R (2 الدالة متناقصة في x : x R { r,x > 2} > ( ) = x 2 ( ) = 0 f x f x نجعل x 2 = 0 x 2 = x = + - ( ) = ( ) + 2 = 0 ( ) = ( ) ( ) + 2 f f f ( ) = = 4 النقاط احلرجة,0) (,4), ( f ( x) = x x + 2 (2 84

85 نرسم خط االعداد ونعني عليه = x, x = x < < x < x > تزايد تناقص تزايد اشارة x) f ( { ) x : x Rr, x > } 2) { x : x Rr, x < } الدالة متزايدة في الدالة متناقصة في الفترة المفتوحة (, ( ( ) = ( 2 x) 2 ( ) ( ) = 0 ( 2 x) 2 = 0 ( ) 2 = 0 2 x = 0 x = 2 ( ) = ( 2 2) = 0 f x f x 2 x f 2 f ( x) = ( 2 x) ( النقطه (2,0 ( نقطة حرجة x < x > 2 تناقص تناقص اشارة x) f ( { { ) x : x 2) x : x R r,x > 2} R r,x < 2} نالحظ الدالة متناقصة في 85

86 ) نجد النقطة احلرجة ان وجدت كما مربنا سابقا [اذا كانت الدالة ال تمتلك نقطة حرجة فليس لها نقاط نهايات عظمى محلية او نقاط نهايات صغرى محلية]. 2) نعني مناطق تزايد الدالة ومناطق تناقصها ان وجدت. ) اذا كانت الدالة متزايدة [اي اشارة المشتقة للدالة موجبة] قبل النقطة احلرجة ومتناقصة بعدها [اي اشارة المشتقة االولى للداله سالبة بعد النقطة احلرجة] فالنقطة احلرجة عندئذ هي نقطة نهاية عظمى محلية. 4) اذا كانت الدالة متناقصة [اي اشارة المشتقة االولى للدالة السالبة [ قبل النقطة احلرجة ومتزايدة بعدها [اي اشارة المشتقة االولى للدالة موجبة بعد النقطة احلرجة [ فالنقطة احلرجة عندئذ هي نقطة نهاية صغرى محلية. 5) اذا لم يحدث تغير في اشارة (x f ( مرورا بالنقطة احلرجة عندئذ الدالة ال تمتلك نقطة نهاية عظمى محلية او نقطة نهاية صغرى محلية. وتكون النقطة حرجة فقط. مثال اذا كان + 7 9x f ( x) = x x 2 جد نقاط النهايات العظمى والصغرى ان وجدت ( ) = x 2 6x 9 ( ) = 0 f x f x x 2 6x 9 = 0 x 2 2x 2x = 0= 0 ( )( x + ) = 0 x x =,x = ( ) = ( ) 2 9( ) + 7 f = 27 = = = 20 ( ) = ( ) ( ) 2 9( ) + 7 f f 9 f 2 9 نجعل = = =2 نقاط حرجة (, 20),, (,2 20,),2 86

87 x < < x < x > تزايد تناقص تزايد اشارة( x f ( { } { R } ) x : x r,x R > 2) x : x r,x <, الدالة متزايدة في 2) x : x ومتناقصة في الفترة المفتوحة, ( ) (, 20) (,2) نقطة نهاية صغرى نقطة نهاية عظمى مثال 2 لتكن f ( x) = x 4 2x 2 + جد نقاط النهايات العظمى والصغرى ان وجدت. ( ) = 4x) 2 4x ( ) = 0 f x f x x : 4x 4x = 0 x x = 0 ( ) = 0 x x x x 2 x= 0,x=,x 2,x = ( ) = 0 4 ( ) 2 + = ( ) = 4 2( ) 2 + = 0 f f f ( ) = ( ) 4 2( ) 2 + = ( )( x + ) = 0 f f = 0 2 النقطة احلرجة (0, ( النقطة احلرجة (,0 ( النقطة احلرجة (,0 ( x < 0 0 < x < x > > x > 0 اشارة x) f ( تزايد تناقص تزايد تناقص 87

88 { ( ) { ( ) ) x : x Rr,x > } 2),0 ) x : x Rr,x < } 2) 0,,0 نهاية صغرى محلية (0, ( نهاية عظمى محلية الدالة متزايدة في وفي الفترة المفتوحة الدالة متناقصة في وفي الفترة المفتوحة جد نقاط النهايات العظمى والصغرى ان وجدت. النقطتان 0,) ( ) ( (,0) مثال لتكن x) f ( x) = x ( 4 + f ( x) = 4x + x 4 f ( x) = 2x 2x 2 + 4x 4x f ( x ) 4x = 4x 2 ( 2 ( + x+ ) x) f x 0 نجعل ( ) = 0 ( + x) = 0 4x 2 4x 2 = 0 x = 0 + x = 0 x = ( ) = 0 ( 4 + 0) = 0 ( ) = ( 4 + ) = - f f نعوض في المعادلة االصلية نقطة حرجة (0,0 ( نقطة حرجة 27, ( ) x < < x < x > تزايد تناقص تناقص اشارة x) f ( {x : x Rr,x > } ) { x : x Rr,x < 0} ( ) 2) 0, الدالة متزايدة في الدالة متناقصة في وفي الفترة المفتوحة النقطة (27, ( نهاي صغرى محلية ) ( النقطة 0,0 نقطة حرجة وليست نهاية الدالة التمتلك نهاية عظمى 88

89 مثال 4 اذا كانت + 5 ax f ( x) = x + لها نقطة نهاية محلية عند = x جد قيمة (a) وبني نوع النهاية. ( ) = x 2 f + xa x a x a ( ) = 2 0 a ( 0 ) 2 + a = 0 a = f x f x f x ( ) = x 2 x 2 = 0 x 2 = x = + - f ( ) = ( ) + 5 = ( ) = ( ) ( ) + 5 f f = = 7 لمعرفة نوع النهاية النقطة احلرجة,) ( النقطة احلرجة ),7 ( x x x > > > > تزايد تناقص تزايد اشارة x) f ( ) { x : x Rr,x > } 2) { x : x Rr,x < } الدالة متزايدة في الدالة متناقصة في الفترة المفتوحة (, ( نهاية عظمى محلية نهاية صغرى محلية (,7 ) (,) النقطة النقطة 89

90 مثال 5 اذا كانت f ( x) = ax + bx وكانت x) f ( تمتلك نهاية محلية عند النقطة, 2) ( فما قيمة كل ( ) = ax + bx ( ) = ax 2 + b ( ) = 0 ( ) 2 + b = 0 a + b = 0 f x f x f x a f ( xf )( = x)ax + bx 2 = a f x 2 = a + b... c 2 a + b = 0... a a + b = a a = 2 a =... ( ) f x ( ) + b( ) من a,b وما نوع هذه النهاية = x نعوضها في 2, تحقق معادلة الدالة بالطرح f ( x) النقطة ) ( نعوض باحدى المعادلتني ولتكن R ( ) + b = 0 b = ( ) = x 2x x ( ) = 6x 2 f x f x f x a f x ( ) = <... 0 ax)= + - x < x > f ( x) f ( x) تصبح الدالة اشارة تزايد تناقص تزايد الدالة متزايدة في } > Rr,x {x : x... وفي } < x {x : x R, {x : x Rr,- الدالة متناقصة في } < < x 2, > نهاية صغرى محلية النقطة ) ( 90

91 4 - جد نقاط النهايات العظمى أو الصغرى المحلية لكل من الدوال االتية : a) f x b) f x c) f x d) f x e) f x ( ) = x 4 ( ) = x ( ) = ( x ) ( ) = x 9x x ( ) = x 4 2x 2 ( ) = 5 + 4x x 4 ( ) = x 4 + 4x f ) f x g) f x -2 اذا علمت ان النقطة 2,) ( هي نقطة النهاية الصغرى المحلية للدالة b) 2. f ( x) = a + ( x فجد قيمة كل من. a,b R a,b وما نوع - اذا كانت النقطة,4) ( نقطة حرجة للدالة f ( x) = + ax + bx 2 فما قيمة R النقطة احلرجة 9

92 8 [ ] نقطة االنقالب : هي نقطة تنتمي لمنحني الدالة ويتغير عندها المنحني من حالة تحدب الى حالة تقعر أو من حالة تقعر الى حالة تحدب. لمعرفة مناطق التحدب والتقعر تعريف (-4) اذا كانت (x y = f ( دالة قابلة لالشتقاق حتى المشتقة الثانية فان: ) يكون منحني الدالة (x f ( محدبا في فترة مفتوحة اذا كانت 2) يكون منحني الدالة (x f ( مقعرا في فترة مفتوحة اذا كانت ) كل نقطة انقالب تكون المشتقة الثانية عندها تساوي صفر أو غير معرفة. اال اننا سوف ندرس نقطة االنقالب التي تكون عندها المشتقة الثانية صفر. f f ( x) < 0 ( x) > 0 f = 0 نقطة انقالب f < 0 f > 0 f > 0 f < 0 92 واليجاد مناطق التقعر أو التحدب ونقطة االنقالب نتبع الخطوات ( نجد x) f ( (2 نجعل = 0 ) ( ) نحدد اشارة (x f ( باستخدام خط االعداد احلقيقية. f x ونجد قيم x التي تنتمي لمجال الدالة. 4) تكون النقط التي تنتمي لمنحني الدالة والفاصلة بني مناطق التقعر والتحدب هي نقاط االنقالب.

93 مثال 6 جد نقاط االنقالب للدالة + 2 4x f ( x) = x 2 ان وجدت. ( ) = x 2 4x + 2 ( ) = 2x 4 ( ) = 2 0 ( ) = 2 f x f x f x f x f x 2x 4 ال توجد نقاط انقالب الن المنحني مقعر في R مثال 7 لتكن + 2 x f ( x) = x جد نقطة االنقالب. ( ) = x x + 2 ( ) = x 2 f x f x f ( x) = 6x f ( x) = 0 6x = 0 x = 0 نجعل f ( 0) = 0 ( 0) + 2 = 2 ( 0,2) x < 0} x 0 x 0 x > 0} تقعر تحدب اشارة x) f ( {x : x Rr,x < 0} {x : x Rr,x > 0} منطقة التحدب منطقة التقعر (0,2 ( نقطة انقالب 9

94 5 لكل من الدوال االتية عني ان وجدت نقاط االنقالب ومناطق التقعر والتحدب : ) f ( x) = 2x 2 4x + 5 ) 2) f x 2x x x4x 5 2) f x ( ) = x x 2) ) f x x x x x 2 ) f x ( ) = x x 2 ) 4) f x x 5 x 4) f x ( ) = x 5 5) 4) f x xx 2 5) f x ( ) = ( x 2) + 5) 6) f x x 2 x x 6) f x ( ) = 4 x 4 2 x 2 7 ) f x x4 x 2 x 7 ) f x ( ) = x + x 2 + x + 94

95

96 x 2 x < 2} تزايد تناقص {x : x Rr,x > 2} {x : x Rr,x < 2} 2 x > 2} x 2 اشارة x) f ( منطقة التزايد منطقة التناقص النقطه (,2 ( نهاية صغرى محلية نجد x) = 2 f ( ) ( f x الدالة مقعرة في مجالها و ال توجد نقاط انقالب y (,0 ) (-,0) ( 2, ) (0,) x x y مثال 9 ارسم منحني الدالة f ( x) = x x f ( x) = x x f ( 0) = 0 ( 0) x x = 0 x x 2 او = 0 x 0 = ) ( - x = + ) نجد نقط تقاطع المحورين نعطي = 0 x نقطة التقاطع 0,0) ( نعطي = 0 ) ( f x نقاط التقاطع,0) (,0) ( 0,0) ( 96

97 ( ) = x 2 ( ) = 0 +) ( ) = ( ) f f( ) = 22, (, 2) 2 ( ) = ( ) ( ) f ( ) = 2 (,2) f x f x نجعل x 2 = 0 x = - f 2 f f x 2) نجد النهايات العظمى والصغرى نقطة حرجة نقطة حرجة x < ( > x < ,x > ,x تزايد تناقص تزايد x اشارة x) f ( { ) x : x Rr,x > 0 0} 2) { x : x Rr,x < ( 0} 0 (,) الدالة متزايدة في الدالة متناقصة في الفترة المفتوحة f ( x) = 6x f ( x) = 0 6x = 0 x = 0 ( ) = 0 ( 0,0) f 0 0,x ,r,x > ,r 0 ) نجد نقاط االنقالب تقعر تحدب 0 < 0} النقطة (2, ( نهاية صغرى محلية النقطة (,2 ( نهاية عظمى محلية اشارة x) f ( 97 {x : x Rr, r,x > 0} 0 {x : x Rr, r,r,x 0,r < 0} مناطق التقعر مناطق التحدب

98 Y (,2) ( 0,0) X (, 2) f ( x) = ( x + ) مثال 40 ارسم منحني الدالة ) + x f ( x) = ( ) نقاط التقاطع نعطي = 0 x f ( 0) = ( 0 + ) = 0 نقطة التقاطع (0,0 ( نعطي = 0 x) ( x + ) = 0 ( x + ) = x = 0 f ( ( ) = ( x + ) 2 ( ) ( ) 2 = 0 x = ( ) = ( + ) = f x x + f x < x > } } x 2) نجد نقاط النهايات (, ( نقطة حرجة الدالة متزايدة في مجالها تزايد تزايد اشارة x) f ( 98

99 f ( x) = 6( x + ) ) نجد نقاط االنقالب ( ) = 0 ( ) = 0 x = f x 6 x + النقطة, ) ( x < } x > } x تقعر تحدب اشارة x) f ( {x : x Rr,x > } { x : x Rr,x < } منطقة التقعر منطقة التحدب نقطة انقالب (, ( Y x y ( 0,0) X (, ) 99

100 6 باالستعانة بالتفاضل ارسم منحني الدوال التالية : ) f ( x) = 4 6x x 2 ) 2) ff x 4x 6xx x 2) f x ( ) = x x 2) ) f x xx x ) f x ( ) = ( x ) 4) ) f x xx 2x 2 4) f x ( ) = x x ال ضرورة اليجاد التقاطع مع محور السينات + 2 2x 00

101 0 [ ] ان للرياضيات دورا مهما في الحياة العملية فكثيرا ما تصادفنا مشكالت نحتاج فيها اكبر قيمة اواصغر قيمة لدالة ما مثل معرفة اكبر مساحة او اقل زمن او اقل تكاليف تحت شروط معينة لحل هذه المسائل. - في االسي لة الهندسية نرسم شكال توضيحيا ثم نعين الرموز الجبرية لتلك المتغيرات. 2- نكتب القانون المتعلق بالسو ال واذا كانت المتغيرات اكثر من واحد عندئذ نلجا الى ايجاد عالقة بين هذه المتغيرات. - نجد النقاط الحرجة بايجاد (x f ( ثم نجعل = 0 (x f ( ونفحص المشتقة كل ما امكن ذلك. مثال 4 جد عددين مجموعهما يساوي 20 اذا كان : a) حاصل ضربهما اكبر مايمكن. b) مجموع مربعيهما اصغر مايمكن. m = x y... x + 20 y = 20 y = 20 x m = x 20 x ( ) m = 20x x 2 m = 20 2x m = 0 نجعل... 2 x = نفرض العدد االول a) العدد الثاني = y حاصل ضرب m = xy نعوض 2 في 20 2x = 0 x = 20 2 = 0 0 y = 20 0 = 0

102 وللتا كد من صحة ندرس (وهو لالطالع جلميع االمثلة) تناقص نهاية عظمى تزايد 0 اشارة m b) h = x 2 + y 2 h = x 2 + ( 20 x) 2 h = x x + x 2 h = 2x 2 40x h = 4x 40 4x 40 = 0 x = 40 4 = 0 y = 20 0 = 0 العدد االول العدد الثاني اشارة h تزايد نهاية صغرى مثال 42 جد ابعاد اكبر مستطيل محيطة 40 متر. تناقص نفرض ان طول المستطيل = x عرض المستطيل = y المساحة... y m = x محيط المستطيل = (الطول + العرض)

103 ( ) 2 x + y 20y = x20 x ( ) m = x 20 x = 40 x + y = 20 m = 20x x 2 m = 20 2x 20 2x = 0 متر = 0 x نعوض في 2 متر = = y تزايد 0 اشارة تناقص نهاية عظمى m مثال 4 من مستطيل محيطة 20)cm ( قطعت منطقة على شكل نصف دائرة ينطبق قطرها على احد الضلعني الصغيرين للمستطيل ماابعاد ذلك المستطيل لكي تكون المساحة المتبقية بعد القطع اكبر مايمكن نفرض طول الضلع الصغير للمستطيل = 2x طول الضلع االخر = y y 0 2x y x x

104 مساحة المستطيل = 2xy المساحة المقطوعة = مساحة نصف دائرة نصف قطرها ) 2x ( المساحة المقطوعة = p 2 x2 2 x 2 ( 22 22)7 ) = 7 x x 2 2x y cm = 22x y 2 77 x 2 2 2x x+ 2x y ( ) ( ) = x + y 2x + y = 60 y = 60 2x m = 2x ( 60 2x) 7 x 2 m = 20x 4x 2 7 x 2 m = 20 8x 22 7 x 20 8x 22 7 x = x 22x = x = 840 x = = 40 cm 2x... 2 محيط المستطيل نعوض 2 في بضرب طرفي المعادلة في (7) 2x 2x = = 60 2x 60 2x = y = 60 2x y = 500 طول الضلع الصغير طول الضلع الكبير 04

105 مثال 44 جد العدد الذي زيادة ثالثة امثال مربعه على مكعبه اكبر ما يمكن. نفرض العدد = x ثالثة امثال مربعة = 2 x مكعب العدد = x m = x 2 x m = 6x x 2 6x x 2 = 0 2x x 2 = 0 x 2 x يهمل x = 0 العدد = 2 x ( ) = اشارة تناقص نهاية عظمى تزايد نهاية صغرى تناقص m مثال 45 يراد صنع حوض على شكل متوازي مستطيالت بدون غطاء قاعدته مربعة الشكل وحجمه m(864) اوجد اقل مساحة من االلواح يمكن ان تستخدم في صنعه. نفرض طول ضلع احلوض = x ارتفاع احلوض = y مس الكلية = المساحة اجلانبية + مساحة قاعدة واحد (النه بدون غطاء) المساحة اجلانبية = محيط القاعدة االرتفاع المساحة الكلية = h h = 4xy + x 2... حجم المتوازي = مساحة القاعدة االرتفاع 05 v = x 2y y x 2 y

106 x 2 y = 864 y = 864 x 2 h = 4x 864 x 2 + x 2 h = ( ) x + x 2 h = 4 ( 864) x 2 + 2x h = نجعل نعوض 2 في y y 4( 864) + 2x = 0 x x 2 + 2x = x 2 + x = x x = 0 x = 728 x = 2m 2 2 = 2m 4 y = = 864 x 2 2 h = 4xy + x 2 h = h x6 ( ) 2 = 864 ( ) x6 + ( 2) 2 h 45m = 42 45m 2 2 x P = 2(x + y)...() xy = = 6m نضرب طرفي المعادلة في x 2 مثال 46 جد اقل محيط ممكن لمستطيل مساحته ) 2 ( cm 00 نفرض بع دي المستطيل : cm x, y نفرض المحيط = P x الدالة من المساحة : x y = 00 x عالقة 06

107 P = 2( 00 x + x) = 2(00x + x) نعوض في () dp dx = 2( 00 +) = 2( x 2 00 ) x 2 x 2 ) المشتقة عند النهايات = 0 ( dp dx نجعل 2( x 2 00 x 2 ) = 0 x = 0cm x = 0cm = P المحيط 2(0 +0) = 40cm المحيط في نهايته الصغرى عندما = 0 y مثال 47 اذا كانت دالة الكلفة الكلية النتاج سلعة معينة هي ( ) = 9 x2 + 6x + 00 c x جد حجم االنتاج الذي عنده يكون معدل الكلفة اقل مايمكن. نجد معدل الكلفة ( ) AC ac = c x = x 9 x ( ) = dx 9 00 x d AC ac 00 = 0x x900 2 = 900x 0 x = 0 x 2 = 0 07 عندما = 0 x فان القيمة الصغرى لمعدل الكلفة تحصل عندما يكون حجم االنتاج 0 وحدة

108 جد عددين مجموعهما 5 وحاصل ضرب احدهما في مربع الا خر اكبر مايمكن. 2- ما العدد الذي زيادته على مربعه اكبر مايمكن - جد عددين موجبني مجموعهما (5) وحاصل ضرب مربع احدهما في مكعب االخر اكبر مايمكن. 4- جد عددين مجموعهما 0 وحاصل ضرب مربع احدهما في مربع االخر اكبر مايمكن. 5- قطعة ارض مستطيلة الشكل يحدها نهر من احدى جهاتها جد اكبر مساحة من االرض يمكن تسييجها بسياج طوله (00) متر. 08)m 2 ( جد ابعاده بحيث 6- حوض على شكل متوازي مستطيالت بدون غطاء قاعدته مربعة وحجمه تكون مساحة االلواح المستخدمة في صنعة اقل مايمكن. m = 224nt 6nt 7- اطلقترصاصةالىاالعلىوكانارتفاعها (m) متر فينهايةt منالثوانيبحيثان 2 احسب اقصى ارتفاع تصل الية الرصاصة. 8- نافذة علي شكل مستطيل يعلوه نصف دائرة بحيث ينطبق قطرها على احد ابعاد المستطيل فاذا كان محيط المستطيل (8) m جد ابعاد المستطيل لكي تكون مساحة النافذة اكبر ما يمكن. 9- في ورشة للنجارة يراد صنع صندوق من الخشب على شكل متوازي السطوح قاعدته مربعة الشكل بدون غطاء. جد ابعاد الصندوق لكي يكون حجمه اكبر مايمكن علما ان مجموع محيط قاعدته وارتفاعه. (90)m 0- اذا كانت دالة الكلفة النتاج سلعة ما هي: + 40 x )c (x = 2 x2 + جد حجم االنتاج الذي يكون عنده معدل الكلفة اقل مايمكن.

109 ال Øسπ الôاب`` الμàاπe Integration 4 [ ] 42 [ ] [ ] [ ] 4 4 [ ] [ ] 45 [ ] [ ] [ ]

110 4 [ ] توجد في الرياضيات الكثير من العمليات العكسية الطرح عكس اجلمع القسمة عكس الضرب واجلذر عكس الرفع حيث ان كل منها تزيل تا ثير االخرى. وفي هذا البند سندرس عملية عكس االشتقاق وتدعى عملية التكامل ولتوضيح ذلك : f (x) = x 2 f (x) = 2x ليكن f 2 (x) = x f 2 (x) = 2x f (x) = x 2-7 f (x) = 2x.. f n (x) = x 2 + c f n (x) = 2x حيث C R عدد ثابت الشكل ) - (4 نالحظ ان مشتقة كل دالة من تلك الدوال تساوي 2x. والتي تمثل ميل المنحني عند كل نقطة من نقطه. ان عملية ارجاع هذه المشتقة الى الدالة التي تم اشتقاقها تسمى عملية التكامل. 0

111 يقال للدالة (x) F انها عكس مشتقة للدالة (x) f في فترة معينة H اذا كانت : f(x) F (x) = على الفترة المعطاة واذا كانت G(x) = F (x) + c حيث c عدد ثابت c R x H G (x) = F (x) = f (x) فان وبذلك يكون (x) G هي ايضا عكس مشتقة (x) f وبذلك نستنتج ان هناك عدد غير منته من الدوال كل منها عكس مشتقة (x). f بعد هذا الموجز نقصد بعكس االشتقاق عملية ايجاد الصيغة العامة للدالة التي اعطيت مشتقتها. ويرمز لهذه العملية بالرمز ونعبر عن عملية عكس االشتقاق للدالة (x) f باستعمال هذا الرمز بالصورة: f (x) dx = F(x) + c وفي هذه احلالة يقال ان الدالة (x) f قابلة للتكامل بالنسبة الى x اي ان f (x) dx موجودة n - x n+ فاذا فرضنا ان f (x) = x n فان = F(x) حيث n+ ( x ) n+ = n f(x) = x n+ فيكون: با خذ تكامل الطرفني ينتج: x n dx = x n+ + c n+, n -, ثابث حقيقي c

112 42 [ ] اذا كان كل من g (x) dx f (x) dx موجودا على b] [a, والثابت c R فإن: ) 2) c f (x) dx = c f(x) dx [ f (x) -+ g (x)] dx = f(x) dx + - g (x) dx ) [ f (x)] n f (x) dx = [ f (x)] n+ + c n+, n = - مثال جد كال من التكامالت االتية: ) 2) (x 2 +5 ) dx = (x 2 ) dx + 5 dx =. x + 5. x + c = x + 5 x + c (x 2 + )(2x - ) dx = ( 2 x - x 2 +2x - ) dx = 2 x dx - x 2 dx +2 x dx - dx ) ( x - x 2 = 2. x4 -. x +2. x2 - x + c 4 2 = x 4 - x +x 2 - x + c 2 يمكن ان نكامل مباشرة كما في االمثلة الالحقة: -2 - ) dx = ( x2 - x - ) dx x 2 x - x + c - = 2 = 2 x - 9 x - x + c 2

113 4) x 4-8x x(x 8) - = dx dx x -2 (x -2) تحليل عامل مشترك = x(x - 2)(x 2x+4) 2 + dx (x -2) تحليل فرق بني مكعبني = (x + 2x 2 +4x)dx = x 4 + 2x + 4x2 + c 4 2 = x x + 2x 2 + c 4 5) (x + 7) 5 x 2 dx = ( x + 7) 5 (x 2 ) dx (x 7) 6 +. = + c 6 = (x + 7) 6 + c 8 6) (x -2) dx = (x 2-4x + 5) -2 (x -2) dx (x 2-4x + 5) 2 (x 2-4x + 5) -2 (2x -4) dx = 2 (x = - 5) + 4x c c = 2(x 2-4x + 5)

114 7) x dx = (5 - x4 ) 5 x dx x4 - - = - (5 - x4 ) 5 (- 4x ) dx 4 = -. (5 - x 4 )5 + c = (5 - x 4 ) 4 + c للحصول بالضرب -4 على مشتقة داخل القوس. 8) x - 5 x 5 dx = - 5 x 2 x dx = ( - 5 x 2 ) x dx استخراج x عامل مشترك x = x 9) - = - (5 - x4 ) 5 (- 4x ) dx 4 = - ( - 5 x. 2 4 ) + c 0 4 = -. ( - 5 x + c 40 2 ) 4 dx = (x 2-4x + 49) 5 dx 5 x 2-4x = [(x - 7) 2 ] 5 dx جعل داخل القوس مربع حدانية -2 = (x - 7) 5 dx = (x - 7) c = 5 5 (x - 7) + c 4

115 0) ( x 4) dx x 2 تحليل فرق مربعني [( x 4] + 4) [x 2-4] - 4) 2 - = dx x 2 تبسيط ( x ) 2 (x 8) 2 - = dx x 2 = (x 2-8) () dx = (9x 2-24) dx = 9x - 24x + c = x - 24x + c ) z 2 + z + 2 dx = z 2 + z + 2 dx = z 2 + z + 2.( x )+ c حيث + 2 z z 2 + يعتبر ثابت بالنسبة للمتغير x 5

116 4 جد تكامالت كال مما يا تي : ) (6x 2-4x + ) dx 2) (x - ) ( x + 5) dx ) x ( x + ) 2 dx 4) x + 27 x + dx 5) x - 2x 2 + dx 5x 5 6) x x + 6x + dx 7) x x dx 8) dx 5 x 2 + 6x

117 9) 7 2 x 9 - x 7 dx 0) ( x 2 + x ) dx ) y d x (9-2y 2 ) 2) x 4-6 x + 2 dx ) ( x - ) x dx 4) 5 (- x) 2 dx 5) x 2 x + 4 dx 6) x ( x + 4 ) dx 7

118 4 [ ] f (x)dx = F(x) + c تعلمنا ان : حيث f(x) c F) (x)+c) = ثابت حقيقي ولهذا الثابت اهمية كبيرة في تطبيقات عملية واليك بعض هذه التطبيقات : 4 [ ] مثال اذا كان ميل المنحني عند كل نقطة (y x), من نقاطه هو ( + 2x x) 2 - جد معادلة المنحني الذي يمر بالنقطة ).(2, لقد ذكرنا في الفصل الثالث ان مشتقة منحني تمثل ميل المنحني في النقطة (y x)., y = f (x) dx y = (x 2-2x + ) dx y = x - x 2 + x +c المنحني يمر بالنقطة ( 2), فهي تحقق المعادلة = c c = - معادلة المنحني y = x - x 2 + x - 8

119 منحني ميله عند اية نقطة y) (x, يساوي x x جد معادلته اذا كان يمر بالنقطة 7) (0,. y = y = y = 2 x x 2 + 9dx (x 2 + 9) 2 (2x) dx y =. (x2 + 9) 2 + c 2 2 (x 2 + 9) + c مثال 2 المنحني يمر بالنقطة 7) (0, فهي تحقق المعادلة -2 = c = (0 + 9) + c 7 y = (x 2 + 9) - 2 معادلة المنحني مثال - 4 2x وكان للمنحنى نهاية (y x), من نقاطه هو جد معادلة المنحني الذي ميله عند اية نقطة صغرى قيمتها (-). f (x) = 0 بما ان للمنحني نهاية صغرى: 2x - 4 = 0 x = 2 y = - (-, 2 ( نهاية صغرى للمنحني فهي تقع على المنحني y = (2x - 4) dx y = x 2-4x + c 9 - = c c = y = x 2-4x + بتعويض -), 2 ( معادلة المنحني هي :

120 مثال 4 وكان للمنحني نهاية 2- x x 2 - جد معادلة المنحني الذي ميله عند اية نقطة (y x), من نقطه هو عظمى تنتمي لمحور السينات. f (x) = 0 بما ان للمنحني نهاية عظمى تنتمي لمحور السينات 0 = y x 2 - x - 2 = 0 (x - 2) (x + ) = 0 x = 2, x = - اشارة صغرى عظمى 0) (-, نهاية عظمى y = (x 2 - x - 2) dx y = x - 2 x 2-2x + c 0 = c -7 = c 6 y = x - 2 x 2-2x dy dx d 2 y dx 2 بالتعويض ) 0 (-, معادلة المنحني مثال 5 جد الدالة التي تحقق : 2-2 = 2x 5 = عند النقطة 2).(, y = 2x 2-2 y = (2x 2-2) dx y = 4x - 2x + c y = 5, x= 5 = c c = y = 4 x - 2x + y = (4x - 2x + ) dx y = x 4 - x 2 + x + c 2 x =, y = 2 2 = c 2 c 2 = - y = x 4 - x 2 + x - معادلة المنحني هي : 20

121 جد معادلة المنحني الذي مشتقته الثانية (6x) والذي يمر بالنقطتني (6 ), (6 -)., مثال 6 y = 6x y = 6x dx y = x 2 + c y = (x 2 + c ) dx y = x + c x+ c 2 6 = + c + c 2 5 = c + c 2... نعوض النقطة 6) (, 6 = - - c نعوض النقطة 6) (-, 2 + c 7 = - c + c = c + c = 2 c 2 c 2 = 6 باجلمع c = - وبالتعويض في معادلة المنحني هي : 6 + x y = x - مثال 7 = y 9x - مماسا عند وكان المستقيم ax - x 2 اذا كان ميل منحني عند y) (x, هو 5) (,. جد معادلته. y = ax - x 2-9 = slope من المستقيم = y 9x - 9 = - الميل 9 = a() - () 2 a = 2 2 y = 2x - x 2 y = (2x - x 2 ) dx

122 y = 6x 2 - x + c مجموعة منحنيات 5 = c نعوض النقطة 5) (, c = 0 y = 6x 2 - x معادلة المنحني جد معادلة المنحني الذي ميله عند اية نقطة هو (9-6x (ax 2 - وللمنحني نقطة انقالب (6-,) مثال 8 y = ax 2-6x - 9 y = 2ax - 6 بما ان النقطة (6- ) نقطة انقالب y = 0 0 = 2a () - 6 a = y = x 2-6x - 9 y = (x 2-6x - 9) dx y = x - x 2-9x + c - 6 = c c = 5 مجموعة منحنيات نعوض النقطة (6- ) y = x - x 2-9x + 5 معادلة المنحني 22

123 42 [ ] عملية التكامل غير المحدد هي عكس عملية المشتقة وحيث ان المشتقة االولى الية دالة اقتصادية بالنسبة لا ي متغير تعطينا التغير الحدي Change) (The Marginal لذا فإنه باجراء العملية العكسية لدالة التغير الحدي ينتج لدينا الدالة االصلية. فمثال تكامل التكلفة الحدية يعطينا التكلفة الكلية وتكامل االنتاج الحدي يعطينا االنتاج الكلي وهكذا... وفيما يلي بعض االمثلة التي توضح ذلك : مثال اذا كانت دالة االيراد احلدي هي حيث v حجم االنتاج. جد دالة االيراد الكلي ودالة السعر. M = 8-6v- 2v 2 بما ان M = v 2v 2 دالة االيراد احلدي فإن دالة االيراد الكلي M هي: M = (8-6v- 2v 2 ) dv M = 8v - v 2-2 v + c وعندما يكون حجم االنتاج = 0 v M = 0 فإن = 0 c لذا فإن (اي ماينتج يباع) - 2 M = 8v - v دالة االيراد الكلي 2 v وحيث ان االيراد = M الكمية المباعة السعر للوحدة M فان دالة السعر = الكمية المباعة 8v - v 2-2 v = v 2 - v 8 - وذلك بفرض ان ما ينتج يباع 2 v 2 =

124 مثال 2 اذا كانت دالة التكلفة احلدية T هي : 2 T = v- 5v حيث v حجم االنتاج جد دالة التكلفة الكلية. علما ان = 65 T. بما ان دالة التكلفة احلدية T = v 5v 2 فإن دالة التكلفة الكلية T هي : T = (2 + 60v- 5v 2 ) dv T = 2v + 0v 2-5 v + c فاذا كانت التكلفة الكلية = 65 عندما حجم االنتاج = 0 V فان = 65 C دالة التكلفة الكلية هي : T = 2v + 0v 2-5 v

125 42 وكان المنحني يمر بالنقطة ( ), جد معادلة المنحني الذي ميله عند (y x), يساوي x 2- جد معادلة المنحني الذي ميله عند (y x), من نقاطه هي - 9 6x x 2 - وكان للمنحني نهاية عظمى قيمتها (0). - جد معادلة المنحني الذي مشتقته الثانية = 2-6x وكان ميله عند النقطة (5 2), يساوي (-). -4 منحني يمر بالنقطتني -), (2 9) (-, وميله عند y) (x, يساوي - 5 ax جد معادلته 5- اذا كانت دالة االيراد احلدي هي : M = 2-8v + v 2 فا وجد دالة االيراد الكلي ودالة الطلب (السعر) بفرض ان ما ينتج يباع. 6- اذا كانت دالة التكلفة احلدية هي : T = 000-5v حيث v حجم االنتاج فاوجد دالة التكلفة الكلية مع العلم ان التكلفة الثابتة =

126 [ ] The Definite Integral44 يعتبر التكامل المحدد من اهم مواضيع الرياضيات التطبيقية لما له من تطبيقات كثيرة في مختلفة العلوم. في هذا البند سنعطي النظرية االساسية للتكامل وبعض تطبيقات المساحات واحلجوم. The Fundamental Theorem of Calculus اذا كانت (x) f دالة مستمرة في الفترة [b a], وكانت (x) F عكس مشتقة (x) f اي ان b (x) F (x) = f فإن : b f(x) dx = [ F(x)] = F(b) - F (a) a a يطلق على a احلد االسفل للتكامل وعلى b احلد االعلى للتكامل. مالحظة : قواعد التكامل المحدد هي نفس قواعد التكامل غير المحدد. امثلة جد قيمة التكامالت الا تية: ) 2 (x 2 + 2x - 2) dx = [ x + 2x 2 2-2x] 2 = [ x + x 2-2x] 2 = [ ] - [ + - 2] = 8 2) 2x dx = (x 2 + 6) 2 (2x) dx 0 x (x 2 + 6) 2 = [ ] 2 0 = [ 2 x ] 0 = [ ] - [ ] = 2 26

127 ) 0 x ( x - ) ( x - 2) dx = - ( x - x 2 + 2x ) dx = - [ x4 - x + x 2 4 ] 4 0 = - [ ] + [ 0 ] = - 6 a f (x) dx = - f(x) dx b b a الحظ : 4) x - dx = (x - ) 2 x dx x 2 25 = (x - ) 2-2 x dx = [. ( x - ) 2 ] 2 25 = [ 2 ( x - ) 25 ] = [ 2 ( 25 - ) ] - 2 ( - ) ] = 6-0 = 6 5) 4 ( + x) dx = ( x 2 + x 2 ) dx x 4 - = [ 2 x + 2 x ] 4 = [ (4) ] - [ ] = 20 27

128 6) a ( 2x - ) dx = 42 0 a ( 2x - ) dx = 42 0 [ x 2 a - x ] = 42 [ a 2 - a ] - [ 0 ] = 42 0 a 2 - a - 42 = 0 ( a - 7 ) ( a + 6 ) = 0 a = 7 or a = -6 جد قيمة a R اذا علمت ان 7) (x + 6 ) 2 dx (x + 6 ) dx -6 x x + 6 dx =[ ] -[ 0 ] 5 = ( x + 6 ) 5-5 [ ] = [ (x +6) ] = 5 =[ (-5+6) 5 ] -[ ( ) 5 ] ) 2 ( + 2x) dx = 6 a جد قيمة a R اذا علمت ان [ x - x 2 2 ] = 6 [ (6 + 4 ) - (a _ a )] = 6 a 0 - a - a 2-6 = 0 a 2 + a - 4 = 0 ( a + 4 ) ( a - ) = 0 a = -4 or a = 28

129 4 جد تكامالت كال مما يا تي: ) (2 x + 5) (x+) dx 2) (x 2 + ) (x - 2) dx - ) x ( x + 5) dx 4) 4 x ( x + ) 2 dx 0 5) x ( x + 2) 2 dx 6) 0 - x - 27 x - dx 7) x 4 - x - dx 8) x dx 0 x ) x 2 + dx x + x +

130

131 (x) y = f حيث 45 من التطبيقات المهمة للتكامل المحدد هو ايجاد المساحة تحت منحني الدالة.[a,b] دالة مستمرة في الفترة f (x) 45 yfx x b x a xaxis * عندما 0 > (x) f اي المنحني فوق محور السينات فإن المساحة المحددة بمنحني الدالة ومحور السينات والمستقيمين والتي يرمز لها بالرمز A b A = - f (x) dx a [ ] [ ] b A = f (x) dx a * عندما < 0 (x) f اي المنحني تحت محور السينات فإن:

132 واالمثلة الا تية توضح ذلك : مثال جد المساحة المحددة بمنحني الدالة - -2x y = f(x) = x 2 ومحور السينات وعلى الفترة.[-,] تقاطع المنحني مع محورالسينات اي نجعل = 0 y لمعرفة > 0 (x) f أو < 0 (x) f x 2-2x - = 0 (x -) (x+) = 0 x =, x = - الموقع اشارة للفترة x الفترة f(x) [-,] x = 0 (0) 2-2(0) - = - < 0 تحت A = - (x 2-2x - ) dx = [ - + x 2 +x ] - - x = [ ] - [ + - ] = [ 9 ] - [ -5 ] = = 2 = 0 2 unit 2 مثال 2 جد المساحة المحددة بالدالة y = f(x) = x -x ومحور السينات. التقاطع مع محورالسينات y = 0 x -x = 0x (x 2 -) = 0 x = 0, x = -, x = للفترة x الموقع اشارة الفترة f(x) [-,0] - + > x = فوق - < [0,] x = تحت 2

133